Conjunt exigu

En el camp matemàtic de la topología general, un conjunt exigu (també cridat conjunt escàs o conjunt de primera categoria) és un subconjunt d'un espai topològic que és chicotet o negligible en el sentit precís que es detalla a continuació. Un conjunt que no és exigu es denomina no exigu, o de segona categoria. Consulten-se a continuació les definicions d'atres térmens relacionats.

Els subconjunts exigus d'un espai fix formen un ideal σ de subconjunts, és dir, qualsevol subconjunt d'un conjunt exigu és exigu, i l'unió numerable de molts conjunts exigus és exigua.

Els conjunts exigus juguen un paper important en la formulació de la noció d'espai de Baire i del teorema de categories de Baire, que s'utilisen en la demostració de varis resultats fonamentals del anàlisis funcional.

Definicions

En tot moment, $X$ serà un espai topològic.

La definició de conjunt exigu utilisa la noció d'un subconjunt dens en ninguna parte de $X$, és dir, un subconjunt de $X$ que la seua clausura té un interior buit (consulte's l'artícul corresponent per a més detalls).

Un subconjunt de $X$ es diu $X$, de $X$, o de en $X$ si és una unió numerable de subconjunts densos en ninguna parte de $X$. En cas contrari, el subconjunt es diu $X$, de $X$, o de en $X$. El calificatiu "en $X$" es pot ometre si l'espai entorn es fixa i s'entén des del context.

Un espai topològic es diu ' (respectivament, ') si és un subconjunt exigu (respectivament, no exigu) de sí mateixa.

Un subconjunt $A$ de $X$ es denomina en $X$, o en $X$, si el seu complement $X\setminus A$ és exigu en $X$ (este us del prefix "co" és consistent en el seu us en atres térmens com "cofinito"). Un subconjunt és igual a $X$ si i solament si és igual a una intersecció numerable de conjunts, cada u de que els seus interiors és dens en $X$.

Observacions sobre terminologia

No deuen confondre's els conceptes de no exigu i coexiguo. Si l'espai $X$ és exigu, cada subconjunt és al mateix temps exigu i coexiguo, i no hi ha conjunts que no siguen exigus. Si l'espai $X$ no és exigu, cap conjunt és al mateix temps exigu i coexiguo, tot conjunt coexiguo és no exigu i pot haver conjunts no exigus que no ho siguen, és dir, en complement no exigu (consulte's la secció d'Eixemples a continuació).

Com a punt adicional de terminologia, si a un subconjunt $A$ d'un espai topològic $X$ se li dona la topología traça induïda a partir de $X$, es pot parlar de que és un espai exigu, és dir, un subconjunt exigu de sí mateixa (quan li'l considera com un espai topològic pròpiament dit). En este cas, $A$ també pot denominar-se un subespacio exigu de $X$, lo que significa un espai exigu quan se li dona la topología del subespacio. És important destacar que açò no és lo mateix que ser exigu en tot l'espai $X$ (consulten-se les secciones Propietats i Eixemples a continuació per a conéixer la relació entre els dos). De manera similar, un subespacio no exigu serà un conjunt que no és exigu en sí mateixa, lo que no és lo mateix que ser no exigu en tot l'espai. No obstant, deu tindre's en conte que en el context d'un espai vectorial topològic alguns autors poden usar la frase "subespacio exigu/no exigu" per a referir-se a un subespacio vectorial que és un conjunt exigu/no exigu en relació en tot l'espai.

Els térmens primera categoria i segona categoria varen ser els utilisats originalment per René-Louis Baire en la seua tesis de 1899. La denominació amprada en anglés, meagre ("pobre", "exigu" o "escàs" en francés), va ser introduïda per Bourbaki en 1948.

Eixemples

• El conjunt buit és sempre un subconjunt tancat en ninguna parte dens (i per tant, exigu) de tot espai topològic.

• En l'espai no exigu $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb{Q})$ el conjunt $[2,3]\cap \mathbb{Q}$ és exigu. El conjunt $[0,1]$ no és exigu i és coexiguo.

• En l'espai no exigu $X=[0,2]$, el conjunt $[0,1]$ no és exigu. Pero no és coexiguo, ya que el seu complement $(1,2]$ també ho és.

• Un espai T₁ numerable sense punts aïllats és exigu. Per lo tant, també és exigu en qualsevol espai que ho continga com subespacio. Per eixemple, $\mathbb{Q}$ és al mateix temps un subespacio exigu de $ℝ$ (és dir, exigu en sí mateixa en la topología del subespacio induïda a partir de $ℝ$) i un subconjunt exigu de $ℝ$.

• El conjunt de Cantor no és dens en ninguna parte en $ℝ$ i, per lo tant, exigu en $ℝ$. Pero no és exigu en sí mateixa, ya que és un espai mètric complet.

• El conjunt $([0,1]\cap \mathbb{Q})\cup \{2\}$ no és dens en $ℝ$, pero és exigu en $ℝ$. No és exigu en sí mateixa (ya que, com subespacio, conté un punt aïllat).

• La recta $ℝ\times \{0\}$ és exigua en el pla ${ℝ}^2$; pero és un subespacio no exigu, és dir, no és exigu en sí mateixa.

• El conjunt $S=(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})\cup (ℝ\times \{0\})$ és un sub exigu de ${ℝ}^2$ encara que el seu subconjunt exigu $ℝ\times \{0\}$ és un sub no exigu (és dir, $ℝ$) no és un espai topològic exigu).

• Un espai de Hausdorff numerable sense punts aïllats és exigu, mentres que qualsevol espai topològic que continga un punt aïllat no és exigu.

• Degut a que els número racional són numerables, són exigus com a subconjunt dels reals i com a espai, és dir, no formen un espai de Baire.

• Qualsevol espai topològic que continga un punt aïllat no és exigu (perque cap conjunt que conté el punt aïllat pot ser dens en ninguna parte). En particular, cada espai discret no buide no és exigu.

• Hi ha un subconjunt $H$ dels número real $ℝ$ que dividix cada conjunt obert no buit en dos conjunts no exigus. És dir, per a cada conjunt obert no buit $U\subseteq ℝ$, els conjunts $U\cap H$ i $U\setminus H$ no són exigus.

• En l'espai $C([0,1])$ de funcions contínues de valors reals en $[0,1]$ en una topología de convergència uniforme, el conjunt $A$ de funcions contínues de valors reals en $[0,1]$ que tenen una derivada en algun punt és exigu. Ya que $C([0,1])$ és un espai mètric complet, no és exigu. Per lo tant, el complement de $A$, que consta de funcions diferenciables contínues de valor real en $[0,1]$, és coexiguo i no exigu. En particular, eixe conjunt no està buit. Esta és una forma de mostrar l'existència de funcions contínues no diferenciables en ninguna parte.

Vore també

• Espai barrilado
• Propietat genèrica, per a anàlecs de residual
• Conjunt negligible, per a anàlecs a exigus
• Propietat de Baire

Bibliografia

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology 2: Chapters 5–10 (vol. 4), Berlin New York: Springer Science & Business Mija. OCLC 246032063. ISBN 978-3-540-64563-4.
• Oxtoby, John C. (1980). «The Banach Category Theorem», Measure and Category, Second edició, New York: Springer, pp. 62–65. ISBN 0-387-90508-1.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis, Second edició (vol. 8), New York, NY: McGraw Hill Education. OCLC 21163277. ISBN 978-0-07-054236-5.
• Willard, Stephen (2004). General Topology, Mineola, N.Y.: Dover Publications. OCLC 115240. ISBN 978-0-486-43479-7.