Anàlisis en ones parcials

El anàlisis en ones parcials, en el context de la mecànica quàntica, es referix a una tècnica empleada per a resoldre problemes de dispersió per mig de la descomposició de cada ona en els seus components de moment angular i la resolució usant condicions de contorn.

Introducció a la teoria de la dispersió

Un fes constant de partícules sofrix la dispersió en un potencial en simetria esfèrica $V(r)$ de curt alcanç, de manera que para llargues distàncies $r\to \mathrm{\infty }$, les partícules es comporten com si foren lliures. En principi, qualsevol partícula vindria descrita per un paquet d'ones, pero descriurem la dispersió d'una ona plana viajant en la direcció de l'eix z $\exp (ikz)$, perque els paquets d'ones es poden descompondre en térmens d'ones planes i és més senzill matemàticament. Ya que el fes està en operació durant temps llarcs en comparació al temps d'interacció de les partícules en el potencial, se supon que està en l'estat estacionario. Açò significa que es deu resoldre l'equació de Schrödinger estacionaria per a la funció d'ones $\Psi (𝐫)$ del fes de partícules:

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)]\Psi (𝐫)=E\Psi (𝐫)$

Fem el següent ansatz:

$\Psi (𝐫)={\Psi }_0(𝐫)+{\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)$

onde ${\Psi }_0(𝐫)\propto \exp (ikz)$ és l'ona plana incident i ${\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)$ és la part dispersada, que representa un destorbament de la funció d'ones original. Solament la forma asintòtica de ${\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)$ és d'interés, ya que les observacions prop del centre dispersor (per eixemple, un núcleu atòmic) usualment no són viables i la detecció de partícules es realisa llunt de l'orige. A llargues distàncies, les partícules deurien comportar-se com a partícules lliures i ${\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)$ deuria ser per tant una solució a l'equació de Schrödinger lliure. Açò sugerix que deuria tindre una forma similar a una ona plana, ometent les parts físicament irrellevants. Per lo tant examinem l'expansió en ones planes:

$e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }{j}_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )$.

La funció de Bessel esfèrica $j_{\ell }(kr)$ es comporta asintóticamente com

$j_{\ell }(kr)\to \frac{1}{r}(\exp (i(kr-l\pi /2))-\exp (-i(kr-l\pi /2))).$

Açò correspon a una ona esfèrica incident i eixint. Per a la funció d'ona dispersada, solament es necessita la part eixint. Per lo tant esperem que ${\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)\propto \exp (ikr)/r$ a llargues distàncies, i fixem la forma asintòtica de l'ona dispersada a

${\Psi }_{\mathrm{s}}(𝐫)\to f(\theta ,k)\frac{\exp (ikr)}{r}$

a on $f(\theta ,k)$ és la amplitut de dispersió, que en este cas solament depén de l'àngul d'elevació $\theta$ i l'energia. En conclusió, la teoria de la dispersió proporciona la següent forma asintòtica per a la funció d'ones completa:

$\Psi (𝐫)\to {\Psi }^{(+)}(𝐫)=\exp (ikz)+f(\theta ,k)\frac{\exp (ikr)}{r}$.

Expansió en ones parcials

En el cas d'un potencial de simetria esfèrica $V(𝐫)=V(r)$, la funció d'ona dispersada pot desenrollar-se en harmònics esfèrics que es reduïxen a polinomis de Legendre per la simetria assimutal (no hi ha dependència en $\varphi$):

$\Psi (𝐫)=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u_{\ell }(r)}{r}{P}_{\ell }(\cos \theta )$.

En els problemes de dispersió usuals, el fes incident se supon que pren la forma d'una ona plana de número d'ones k, que es pot descompondre en ones parcials usant l'expansió de les ones planes en térmens de funcions de Bessel esfèriques i polinomis de Legendre:

${\psi }_{\text{in}}(𝐫)=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }{j}_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta )$

Hem assumit un sistema de coordenades esfèriques en l'eix z alineat en la direcció del fes. La part radial d'esta funció d'ones depén únicament de funcions de Bessel esfèriques, que es poden reescriure com la suma de dos funcions de Hankel esfèriques:

$j_{\ell }(kr)=\frac{1}{2}(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr))$

El significat físic és el següent: h_ℓ⁽¹⁾ es comporta asintóticamente (és dir, per a r gran) com i^−(ℓ+1)i^ikr/(kr) i per tant és una ona eixint, mentres que h_ℓ(2) es comporta asintóticamente com i^ℓ+1i^−ikr/(kr) i és per tant una ona incident. L'ona incident no es veu afectada per la dispersió, mentres que l'ona dispresada es modifica per un factor conegut com el element de la matriu S de l'ona parcial S_ℓ:

$\frac{u_{\ell }(r)}{r}\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{i^{\ell }k}{\sqrt{2\pi }}(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }{h}_{\ell }^{(2)}(kr))$

a on o_ℓ(r)/r és la component radial de la funció d'ones. El desfasament de la dispersió δ_ℓ es definix com la mitat de la fase de S_ℓ:

$S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}$

Si no es pert fluix en el fes, |S_ℓ| = 1 i el desfasament és real. Açò és lo que ocorre normalment, a no ser que el potencial tinga una component imaginària d'absorció, lo que s'ampra en models fenomenológicos per a descriure pèrdues per atres canals de reacció.

Per tant, la funció d'ones asintòtica completa és

$\psi (𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }\frac{h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }{h}_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}{P}_{\ell }(\cos \theta )$

Restant ψ_in s'obté l'ona eixint asintòtica:

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }\frac{S_{\ell }-1}{2}{h}_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta )$

Amprant el comportament asintòtic de les funcions de Hankel s'obté:

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{e^{ikr}}{r}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{S_{\ell }-1}{2ik}{P}_{\ell }(\cos \theta )$

De la definició d'amplitut de dispersió f(θ, φ)

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{e^{ikr}}{r}f(\theta ,\varphi )$

se seguix que

$f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{S_{\ell }-1}{2ik}{P}_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}{P}_{\ell }(\cos \theta )$

i per tant la secció eficaç diferencial està donada per

$\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f(\theta ,k){|}^2=\frac{1}{k^2}{|\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )|}^2$

$\sigma =4\pi \sum _{\ell }(2\ell +1)\frac{{\sin }^2{\delta }_{\ell }(p)}{p^2}$.

Este procediment es pot aplicar a qualsevol interacció de curt alcanç. Per a interaccions de llarc alcanç, com l'interacció de Coulomb, la suma sobre ℓ pot no ser convergent. L'estratègia general per a estos problemes és tractar l'interacció de Coulomb i les interaccions de curt alcanç per separat, ya que el problema de Coulomb es pot resoldre de forma exacta en térmens de les funcions de Coulomb, que fan el paper de les funcions de Hankel en este problema.

Bibliografia

• Griffiths, J. D. (1995). Introduction to Quàntum Mechanics, Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Taylor, J. R. (1972). Scattering Amplitut: The Quàntum Theory of Nonrelativistic Collisions, Dover Books on Engineering. ISBN 0-48-645013-9.