Correlació

En provabilitat i estadística, la correlació indica la força i la direcció d'una relació llineal i la proporcionalitat entre dos variables estadístiques. Es considera que dos variables quantitatives estan correlacionades quan els valors d'una d'elles varien sistemàticament sobre els valors homònims de l'atra: si tenim dos variables (A i B) existix correlació entre elles si en disminuir els valors d'ho fan també els de B i viceversa. La correlació entre dos variables no implica, per sí mateixa, cap relació de causalitat (Vejau cum hoc ergo propter hoc). Per eixemple, els ingressos i despeses d'una família, la producció i vendes d'una fàbrica, les despeses en publicitat i beneficis d'una empresa. Una relació funcional s'expressa per mig d'una funció matemàtica. Si X és la variable independent i I és la variable depenent, una relació funcional té la forma: pY=f(X)

Varis conjunts de punts (x, i), en el coeficient de correlació de Pearson de x i i per a cada conjunt. La correlació reflectix el soroll i la direcció d'una relació llineal (fila superior), pero no la pendent d'eixa relació (centre), ni molts aspectes de les relacions no llineals (part inferior). N. B.: la figura del centre té una pendent de 0 pero, en eixe cas, el coeficient de correlació no està definit perque la varianza de I és zero.

Les correlació són útils perque poden indicar una relació predictiva que pot explotar-se en la pràctica. Per eixemple, una companyia elèctrica pot produir menys electricitat en un dia templat basant-se en la correlació entre la demanda d'electricitat i el temps. En este eixemple, existix una relació causal, perque el temps extrem fa que la gent utilise més electricitat per a calefacció o refrigeració. No obstant, en general, la presència d'una correlació no és suficient per a inferir la presència d'una relació causal (és dir, correlació no implica causalitat). Formalment, les variables aleatòries són depenents si no satisfan una propietat matemàtica d'independència provabilística. En llenguage informal, correlació és sinònim de dependència. No obstant, quan s'utilisa en un sentit tècnic, la correlació es referix a qualsevol de varis tipos específics d'operacions matemàtiques entre Esperança condicionals variables provades i els seus respectius valors esperats. Essencialment, la correlació és la mida de cóm dos o més variables estan relacionades entre sí. Existixen varis coeficients de correlació, a sovint denotats ___*$\rho$ o $r$, que medixen el grau de correlació. El més comú d'ells és el Coeficient de correlació de Pearson, que només és sensible a una relació llineal entre dos variables (que pot estar present inclús quan una variable és una funció no llineal de l'atra). Atres coeficients de correlació - com el correlació de rancs de Spearman - s'han desenrollat per a ser més robusts que el de Pearson, és dir, més sensibles a les relacions no llineals. Informació mútua també pot aplicar-se per a medir la dependència entre dos variables.

Coeficient producte-moment de Pearson

Artícul principal → Coeficient de correlació de Pearson.

Eixemple de gràfics de dispersió de varis conjunts de senyes en diversos coeficients de correlació.

La mida més coneguda de la dependència entre dos magnituts és el coeficient de correlació producte-moment de Pearson (CCMPP), o "coeficient de correlació de Pearson", comunament cridat simplement "coeficient de correlació". S'obté prenent el cocient de la covarianza de les dos variables en qüestió del nostre conjunt de senyes numèriques, normalisat a la raïl quadrada de les seues varianza. Matemàticament, n'hi ha prou en dividir la covarianza de les dos variables pel producte dels seus desviació típica. Karl Pearson va desenrollar el coeficient a partir d'una idea similar pero llaugerament diferent de Francis Galton.

Un coeficient de correlació producte-moment de Pearson intenta establir una llínea de millor ajust a través d'un conjunt de senyes de dos variables per mig del traçat essencialment dels valors esperats i el coeficient de correlació de Pearson resultant indica lo llunt que està el conjunt de senyes real dels valors esperats. Depenent del signe del nostre coeficient de correlació de Pearson, podem acabar en una correlació negativa o positiva si existix algun tipo de relació entre les variables del nostre conjunt de senyes. El coeficient de correlació poblacional ___*${\rho }_{X,Y}$ entre dos variables aleatorias $X$ y $Y$ con valor esperado $X$ y $Y$ con valor esperados ${\mu }_X$ y ${\mu }_Y$ y desviación típicas ${\sigma }_X$ y ${\sigma }_Y$ se define como:

$${\rho }_{X,Y}=\mathrm{corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{cov}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{\mathrm{E}[(X-{\mu }_X)(Y-{\mu }_Y)]}{{\sigma }_X{\sigma }_Y},\text{if}{\sigma }_X{\sigma }_Y>0.$$

a on $\mathrm{E}$ es el operador valor esperado, $\mathrm{cov}$ significa covarianza, y $\mathrm{corr}$ es una notación alternativa ampliamente utilizada per al coeficiente de correlació. La correlació de Pearson sólo se define si ambas desviaciones típicas són finitas y positives. Una fórmula alternativa puramente en términos de momentos es:

$${\rho }_{X,Y}=\frac{\mathrm{E}(XY)-\mathrm{E}(X)\mathrm{E}(Y)}{\sqrt{\mathrm{E}(X^2)-\mathrm{E}(X{)}^2}\cdot \sqrt{\mathrm{E}(Y^2)-\mathrm{E}(Y{)}^2}}$$

Correlació i independència

És un corolari de la desigualtat de Cauchy-Schwarz que el valor absolut del coeficient de correlació de Pearson no és major que 1. Per lo tant, el valor d'un coeficient de correlació oscila entre -1 i +1. El coeficient de correlació és +1 en el cas d'una relació llineal directa (creixent) perfecta (correlació), -1 en el cas d'una relació llineal inversa (decreixent) perfecta (anticorrelació), i algun valor en l'interval obert ___*$(-1,1)$ en todos els demás casos, indicando el grado de dependencia lineal entre les variables. A medida que se acerca a cero hay menos relació (más cerca de la no correlació). Cuanto más se acerque el coeficiente a −1 o 1, más fuerte será la correlació entre les variables. Si les variables són independientes, el coeficiente de correlació de Pearson es 0, pero lo contrario no es cierto porque el coeficiente de correlació sólo detecta dependencias lineals entre dos variables.

$$\begin{array}{cc}X,Y\text{ independent}& \Rightarrow {\rho }_{X,Y}=0(X,Y\text{ uncorrelated})\\ {\rho }_{X,Y}=0(X,Y\text{ uncorrelated})& \nRightarrow X,Y\text{ independent}\end{array}$$

per eixemple, supongamos que la variable aleatoria $X$ se distribuye simétricamente alrededor de cero, y $Y=X^2$. Entonces $Y$ está completamente determinada por $X$, de modo que $X$ y $Y$ són perfectamente dependientes, pero su correlació es cero; están no correlacionades. Sin embargo, en el caso especial de que $X$ y $Y$ siguen distribucions normals multivariades, la falta de correlació és equivalent a l'independència. Encara que les senyes no correlacionados no impliquen necessàriament independència, es pot comprovar si les variables aleatòries són independents si la seua informació mútua és 0.

Força, sentit i forma de la correlació

Si representem cada parell de valors com les coordenadas d'un punt, el conjunt de tots ells es diu núvol de punts o diagrama de dispersió. La relació entre dos variables quantitatives queda representada per mig de la llínea de millor ajust, traçada a partir del núvol de punts. Els principals components elementals d'una llínea d'ajust i, per lo tant, d'una correlació, són la força, el sentit i la forma:

• La força extrema segons el cas, medix el grau en que la llínea representa al núvol de punts: si el núvol és estret i allargada, es representa per una llínea recta, lo que indica que la relació és forta; si el núvol de punts té una tendència elíptica o circular, la relació és dèbil.
• El sentit medix la variació dels valors de B sobre A: si en créixer els valors d'ho fan els de B, la relació és directa (pendent positiva); si en créixer els valors de disminuïxen els de B, la relació és inversa (pendent negativa).
• La forma establix el tipo de llínea que definix el millor ajust: la llínea recta, la curva monotònica o la curva no monotònica

Coeficients de correlació

Existixen diversos coeficients que medixen el grau de correlació, adaptats a la naturalea de les senyes. El més conegut és el coeficient de correlació de Pearson (introduït en realitat per Francis Galton), que s'obté dividint la covarianza de dos variables entre el producte de les seues desviacions estàndar. Atres coeficients són:

• Coeficient de correlació de Spearman
• Correlació canònica

Interpretació geomètrica

Donats els valors mostrals de dos variables aleatòries ___*$X(x_1,\dots ,x_n)$ e $Y(y_1,\dots ,y_n)$, que pueden ser considerades como vectores en un espacio de n dimensiones, pueden construirse els "vectores centrados" como:

El coseno del ángulo alfa entre estos vectores es dado por la fórmula siguiente:

Pues $\cos (\alpha )$ es el coeficiente de correlació muestral de Pearson. El coeficiente de correlació es el coseno del ángulo entre ambos vectores centrados:

• Si r = 1, el ángulo $\alpha =0$°, ambos vectores són colineals (paralos).
• Si r = 0, el ángulo $\alpha =90$°, ambos vectores són ortogonals.
• Si r =-1, el ángulo $\alpha =180$°, ambos vectores són colineals de direcció opuesto. Más generalmente: $\alpha =\arccos (r)$. Per supost, des del punt vista geomètric, no parlem de correlació llineal: el coeficient de correlació té sempre un sentit, qualsevol siga el seu valor entre -1 i 1. Nos informa de modo precís, no tant sobre el grau de dependència entre les variables, sino sobre la seua distància angular en l'hiperesfera de n dimensions. l'Iconografia de les correlació és un método d'anàlisis multidimensional que reposa en esta idea. La correlació llineal es dona quan en un núvol de punts es troben o es distribuïxen al voltant d'una recta. La fòrmula de correlació per a dos séries distintes en cert desfasament "k", està donada per la fòrmula:

Distribució del coeficient de correlació

El coeficient de correlació mostral o analític d'una mostra és de fet una variable aleatòria, això significa que si repetim un experiment o considerem diferents mostres s'obtindran valors diferents i per tant el coeficient de correlació mostral calculat a partir d'elles tindrà valors llaugerament diferents. Per a mostres grans la variació en dit coeficient serà menor que per a mostres chicotetes. R. A. Fisher va ser el primer en determinar la distribució de provabilitat per al coeficient de correlació. Si les dos variables aleatòries que tracta de relacionar-se procedixen d'una distribució gaussiana bivariante llavors el coeficient de correlació r seguix una distribució de provabilitat donada per:

a on:

___*$𝜞$ es la distribución gamma

${}_{\mathrm{𝟐}}{𝐅}_{\mathrm{𝟏}}(a,b;c;z)$ es la función gaussiana hipergeométrica. Nótese que el valor esperado del coeficiente de correlació muestral r es:

por tanto, r es estimador sesgado de $\rho$. Puede obtenerse un estimador aproximado no sesgado resolviendo la ecuación:

Aunque, la solución:

es subóptima. Se puede obtener un estimador sesgado con mínima varianza per a grandes valores de n, con sesgo d'orden $\frac{1}{n-1}$ buscando el máximo de la expresión:

En el caso especial de que $\rho =0$, la distribución original puede ser reescrita como:

a on $𝐁$ és la funció beta.

Distribució normal bivariada

Si un parell de ___*$(X,Y)$ de variables aleatorias sigue una distribución normal bivariada, la media condicional $\mathrm{E}(X\mid Y)$ es una función lineal de $Y$, y la media condicional $\mathrm{E}(Y\mid X)$ es una función lineal de $X$. El coeficiente de correlació ${\rho }_{X,Y}$ entre $X$ y $Y$, junto con les medias y varianzas marginals de $X$ y $Y$, determina esta relació lineal:

$\mathrm{E}(Y\mid X)=\mathrm{E}(Y)+{\rho }_{X,Y}\cdot {\sigma }_Y\frac{X-\mathrm{E}(X)}{{\sigma }_X},$

deonde $\mathrm{E}(X)$ y $\mathrm{E}(Y)$ són els valores esperados de $X$ y $Y$, respectivamente, y ${\sigma }_X$ y ${\sigma }_Y$ són les desviaciones estándar de $X$ y $Y$, respectivamente. La correlació empírica $r$ es una estimación del coeficiente de correlació $\rho$. Una estimación de distribución per a $\rho$ es dado por$$\pi (\rho |r)=\frac{\Gamma (\nu +1)}{\sqrt{2\pi }\Gamma (\nu +\frac{1}{2})}(1-r^2{)}^{\frac{\nu -1}{2}}\cdot (1-{\rho }^2{)}^{\frac{\nu -2}{2}}\cdot (1-r\rho {)}^{\frac{1-2\nu }{2}}F(\frac{3}{2},-\frac{1}{2};\nu +\frac{1}{2};\frac{1+r\rho }{2})$$a on $F$ es la función hipergeométrica gaussiana y $\nu =N-1>1$ . Esta densitat és tant una densitat bayesiana posterior com una densitat òptima exacta de distribució de confiança.

Per a més informació

• Cohen, J. (2002). Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences, 3rd edició, Psychology Press. ISBN 978-0-8058-2223-6.
• {{{1}}} en Springer
• Plague of Equals: A science thriller of international disease, politics and drug discovery, Califòrnia: Omega Cat Press, pp. 408. ISBN 978-0963175540.

Enllaços externs

Correlació en el Viccionari.

• Diccionari Estadístic - Divestadística (en castellà)
• ^{[enllaç trencat]} Simulació de la correlació entre dos variables discretes en R (llenguage de programació)
• htmlMathWorldpageonthe (cross-)correlation coefficient/s of a sample
• cgi Compute significance between two correlations, for the comparison of two correlation values.
• «A MATLAB Toolbox for computing Weighted Correlation Coefficients».
• Proof that the Sample Bivariate Correlation has limits plus or minus 1
• Interactive Flash simulation on the correlation of two normally distributed variables by Juha Puranen.
• Correlation analysis. Biomedical Statistics
• R-Psychologist Correlation visualization of correlation between two numeric variables