Versor cuaterniónico

En matemàtiques, un versor (cuaterniónico) és un cuaternión de norma unitat (o cuaternión unitari). Cada versor té la forma

a on la condició ${𝐫}^2=-1$ significa que $𝐫$ és un "vector" cuaternión de llongitut unitària (o que la primera component de $𝐫$ és zero i els tres últimes components de $𝐫$ formen un vector unitari de tres dimensions). La rotació tridimensional corresponent té un àngul de 2a al voltant de l'eix $𝐫$ en la representació d'eix–àngul. En el cas a = π/2 (un àngul recte), llavors $q=𝐫$, i el vector unitari resultant es denomina versor recte.

La colecció de versores en la multiplicació de cuaterniones forma un grup, i el conjunt de versores és una 3-esfera en l'àlgebra de cuaterniones de quatre dimensions.

Presentació en 3- i 2-esferes

Archiu:Spherical triangle.svg

arc AB + arc BC = arc AC

Hamilton va denotar el versor d'un cuaternión q en el símbol O q. D'esta manera va poder expressar el cuaternión general en forma de coordenades polars

q = T q O q,

a on T q és la norma de q. La norma d'un versor sempre és igual a un; per lo tant, ocupen la 3-esfera unitària en $ℍ$. Eixemples de versores inclouen els huit elements del grup de cuaterniones. De particular importància són els versores rectes, que tenen àngul π/2. Estos versores tenen part escalar igual a zero i, per lo tant, són vectorés de llongitut un (vectores unitaris). Els versores rectes formen una esfera de raïls quadrades de −1 en l'àlgebra de cuaterniones. Els generadors i, j, i k són eixemples de versores rectes, de la mateixa manera que els seus inversos aditius. Atres versores inclouen els vintiquatre cuaterniones de Hurwitz que tenen norma 1 i formen els vèrtiços d'un 24-cela policorónico.

Hamilton va definir un cuaternión com el cocient de dos vectores. Un versor pot definir-se com el cocient de dos vectores unitaris. Per a qualsevol pla fix Π, el cocient de dos vectores unitaris que yacer en Π depén únicament del àngul (dirigit) entre ells, el mateix a que en la representació de vector unitari–àngul explicada dalt. Per això pot resultar natural entendre els versores corresponents com arcs dirigits que conecten parells de vectores unitaris i yacer sobre un círcul màxim format per l'intersecció de Π en l'esfera unitària, a on el pla Π passa per l'orige. Arcs de la mateixa direcció i llongitut (o, lo mateix, àngul subtendido en radianes) són equipolentes i corresponen al mateix versor.

Tal arc, encara que yacer en l'espai tridimensional, no representa el trayecte d'un punt rotando com es descriu en el producte sandwichado en el versor. De fet, representa l'acció de multiplicació esquerra del versor en els cuaterniones que preserva el pla Π i el círcul màxim corresponent de 3-vectores. La rotació tridimensional definida pel versor té un àngul dos voltes l'àngul subtendido de l'arc i preserva el mateix pla. És una rotació al voltant del vector corresponent r, que és perpendicular a Π.

Sobre tres vectores unitaris, Hamilton escriuPlantilla:Sfnp

$q=\beta :\alpha =OB:OA$ i

$q^{\prime }=\gamma :\beta =OC:OB$ impliquen

$q^{\prime }q=\gamma :\alpha =OC:OA.$

La multiplicació de cuaterniones de norma un correspon a la "suma" (no conmutativa) d'arcs de círculs màxims en l'esfera unitària. Qualsevol parell de círculs màxims és el mateix círcul o té dos punts d'intersecció. Per lo tant, sempre es pot moure el punt B i el vector corresponent a un d'estos punts de manera que l'inici del segon arc siga el mateix que el final del primer arc.

Una equació

$\exp (c𝐫)\exp (a𝐬)=\exp (b𝐭)$

especifica implícitament la representació de vector unitari–àngul per al producte de dos versores. La seua solució és un cas de la fòrmula general de Campbell–Baker–Hausdorff en la teoria de grups de Lie. Com la 3-esfera representada pels versores en $ℍ$ és un grup de Lie de 3 paràmetros, la pràctica en composicions de versores és un pas cap a la teoria de Lie. Evidentment, els versores són l'image de l'aplicació exponencial aplicada a una bola de radi π en el subespacio de vectores dels cuaterniones.

Els versores es componen com els arcs de vectores mencionats anteriorment, i Hamilton es va referir a esta operació de grup com "la suma d'arcs", pero com cuaterniones, simplement es multipliquen.

La geometria del espai elíptic ha segut descrita com l'espai dels versores.

Representació de SO(3)

El grup ortogonal en tres dimensions, grup de rotació SO(3), s'interpreta freqüentment en versores per mig del automorfisme intern $q\mapsto u^{-1}qu$, a on o és un versor. De fet, si

llavors

per càlcul. El pla $\{x+y𝐫:(x,y)\in {ℝ}^2\}\subset ℍ$ és isomorfo a $ℂ$, i l'automorfisme intern, per conmutatividad, es reduïx a l'identitat en eixe pla. Ya que els cuaterniones poden interpretar-se com un àlgebra de dos dimensions complexes, l'acció de grup de rotació també pot vore's a través del grup unitari especial SU(2).

Per a un r fix, els versores de la forma $\exp (a𝐫)$ a on $a\in (-\pi ,\pi ],$ formen un subgrup isomorfo al grup del círcul. Les òrbites de l'acció de multiplicació esquerra d'este subgrup són fibres d'un fibrado sobre la 2-esfera, conegut com fibración de Hopf en el cas Plantilla:Nobr atres vectores donen fibraciones isomorfas, pero no idèntiques. Plantilla:Harvp oferix una introducció elemental als cuaterniones per a clarificar la fibración de Hopf com una aplicació sobre cuaterniones unitaris. Escriu: "les fibres de l'aplicació de Hopf són círculs en S³ ".

Els versores s'han utilisat per a representar rotacions de l'esfera de Bloch per mig de la multiplicació de cuaterniones.

Espai elíptic de Riemann

L'utilitat dels versores ilustra la geometria elíptica, en particular l'espai elíptic, un àmbit tridimensional de rotacions. Els versores són els punts d'este espai elíptic, encara que es referixen a rotacions en l'espai euclidiano de 4 dimensions. Daus dos versores fixos o i v, l'aplicació $q\mapsto uqv$ és un moviment elíptic. Si un dels versores fixos és 1, llavors el moviment és una translació de Clifford de l'espai elíptic, nomenada en honor a William Kingdon Clifford, qui va anar un defensor d'este espai. Una llínea elíptica a través del 0versor o és $\{u\exp (a𝐫):0\le a<\pi \}.$ El paralelisme en este espai s'expressa per mig de paralels de Clifford. Un dels métodos per a visualisar l'espai elíptic utilisa la transformació de Cayley para mapear els versores a ${ℝ}^3.$

Subgrups

El conjunt de tots els versores, en la seua multiplicació com cuaterniones, forma un grup continu G. Per a un parell fix $\{-𝐫,+𝐫\}$ de versores rectes, $G_1=\{\exp (a𝐫):a\in ℝ\}$ és un subgrup d'un paràmetro que és isomorfo al grup del círcul.

Considerem ara els subgrups finitos, més allà del grup de cuaterniones Q₈:

Com va senyalar Hurwitz, els 16 cuaterniones $\frac{1}{2}(\pm \mathrm{𝟏}\pm 𝐢\pm 𝐣\pm 𝐤)$ tenen norma un, per lo que estan en G. Junt en Q₈, estos cuaterniones de Hurwitz unitaris formen un grup G₂ d'orde 24 cridat grup binario tetraèdric. Els elements del grup, presos com a punts en S³, formen una 24-cela.

Per mig d'un procés de bitruncación de la 24-cela, s'obté la 48-cela sobre G, i estos versores es multipliquen com el grup binario octaèdric.

Un atre subgrup està format per 120 icosianos, que es multipliquen d'acort en el grup binario icosaédrico.

Versor hiperbòlic

Un versor hiperbòlic és una generalisació dels versores cuaterniónicos als grups ortogonals indefinits, com el grup de Lorentz. Es definix com una cantitat de la forma

$\exp (a𝐫)=\cosh a+𝐫\sinh a$ a on ${𝐫}^2=+1.$

Tals elements sorgixen en les àlgebra partides, com els número complejo partits o els cuaterniones partits. Va ser en l'àlgebra de tesarines, descoberta per James Cockle en 1848, a on varen aparéixer per primera volta els versores hiperbòlics. De fet, Cockle va escriure l'equació anterior (en j en lloc de r) quan va descobrir que els tesarines incloïen un nou tipo d'element imaginari.

Este versor va ser usat per Homersham Cox (1882/1883) en relació en la multiplicació de cuaterniones. El principal defensor dels versores hiperbòlics va ser Alexander Macfarlane, qui va treballar per a adaptar la teoria de cuaterniones al servici de la ciència física. Macfarlane va percebre el poder dels versores hiperbòlics en operar en el pla d'número complejo partits, i en 1891 va introduir els cuaterniones hiperbòlics per a estendre el concepte a l'espai 4-dimensional. Els problemes en eixa àlgebra varen dur a l'us de bicuaterniones despuix de 1900. En una resenya àmpliament difosa, Macfarlane va escriure:

... la raïl d'una equació quadràtica pot ser de naturalea versor o de naturalea escalar. Si és de naturalea versor, llavors la part afectada pel radical involucra l'eix perpendicular al pla de referència, i açò és aixina, ya siga que el radical involucre la raïl quadrada de menys un o no. En el primer cas, el versor és circular; en el segon, hiperbòlic.

Hui en dia, el concepte d'un grup d'un paràmetro subsume els conceptes de versor i versor hiperbòlic, ya que la terminologia de Sophus Lie ha reemplaçat a la d'Hamilton i Macfarlane. En particular, per a cada r tal que r r = +1 o r r = −1, l'aplicació $a\mapsto \exp (a𝐫)$ du la llínea real a un grup de versores hiperbòlics o ordinaris. En el cas ordinari, quan r i −r són antípodes en una esfera, els grups d'un paràmetro tenen els mateixos punts, pero estan dirigits en sentits oposts. En física, este aspecte de la simetria rotacional es denomina doblet.

Plantilla:Harvp va definir el paràmetro de rapidea, que especifica un canvi en el marc de referència. Este paràmetro de rapidea correspon a la variable real en un grup d'un paràmetro de versores hiperbòlics. En el desenroll posterior de la relativitat especial, l'acció d'un versor hiperbòlic va aplegar a denominar-se boost de Lorentz.