Fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff

En matemàtiques, la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff permet trobar la solució de $Z$ per a l'equació

$e^X{e}^Y=e^Z$

en $X$ i $Y$ que poden ser no conmutativos en l'àlgebra de Lie d'un grup de Lie. Hi ha vàries formes d'escriure la fòrmula, pero totes finalment produïxen una expressió per a $Z$ en térmens algebraics de Lie, és dir, com una série formal (no necessàriament convergent) en $X$ i $Y$ i commutadors iterados dels mateixos. Els primers térmens d'esta série són:

$Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

a on "$\cdots$" indica térmens que involucren commutadors superiors de $X$ i $Y$. Si $X$ i $Y$ són elements suficientment chicotets de l'àlgebra de Lie $𝔤$ d'un grup de Lie $G$, la série és convergent. Mentrestant, cada element $g$ suficientment prop de l'identitat en $G$ pot expressar-se com $g=e^X$ per un $X$ chicotet en $𝔤$. Per lo tant, es pot dir que prop de l'identitat la multiplicació grupal en $G$ — escrita com $e^X{e}^Y=e^Z$— pot expressar-se en térmens purament algebraics de Lie. La fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff es pot utilisar per a proporcionar demostracions comparativament simples de resultats profunts en la correspondència grup de Lie-àlgebra de Lie.

Si $X$ i $Y$ són matrius lo suficientment chicotetes d'orde $n\times n$ , llavors $Z$ es pot calcular com el logaritme de $e^X{e}^Y$, a on els exponencials i el logaritme es poden calcular com a séries de potències. El punt de la fòrmula de Baker–Campbell–Hausdorff és, llavors, l'afirmació clarament no obvia de que $Z:=\log (e^X{e}^Y)$ pot expressar-se com una série en commutadors repetits de $X$ i $Y$.

Les exposicions modernes de la fòrmula es poden trobar, entre atres llocs, en els llibres de Rossmann i Hall.

Història

La fòrmula du el nom d'Henry Frederick Baker, John Edward Campbell i Felix Hausdorff, els qui varen establir la seua forma qualitativa, és dir, que solament es necessiten commutadors i commutadors de commutadors, fins a l'infinit, per a expressar la solució. Una declaració anterior de la forma va ser redactada per Friedrich Schur en 1890, a on es donava una série de potències convergent, en térmens definits recursivament. Esta forma qualitativa és la que s'usa en les aplicacions més importants, com les proves relativament accessibles de la correspondència de Lie i la teoria quàntica de camps. Seguint a Schur, Campbell (1897) va publicar la fòrmula en forma impresa; Henri Poincaré (1899) i Baker (1902) la varen elaborar; i Hausdorff (1906) la va sistematisar geomètricament i la va vincular a l'identitat de Jacobi. La primera fòrmula explícita real, en tots els coeficients numèrics, es deu a Eugene Dynkin (1947). L'història de la fòrmula es descriu en detalle en l'artícul de Achilles i Bonfiglioli i en el llibre de Bonfiglioli i Fulci.

Formes explícites

Per a molts propòsits, solament és necessari saber que una expansió per a $Z$ en térmens de commutadors iterados de $X$ i $Y$ existix. Els coeficients exactes són a sovint irrellevants (vore per eixemple, la discussió de la relació entre el grup de Lie i els homomorfismes de l'àlgebra de Lie en la Secció 5.2 del llibre de Hall, a on els coeficients precisos no juguen cap paper en l'argument). Martin Eichler va presentar una prova d'existència notablement directa (vore també a continuació la secció "Resultats d'existència").

En atres casos, es pot necessitar informació detallada sobre $Z$ i per lo tant és desijable calcular $Z$ tan explícitament com siga possible. Existixen numeroses fòrmules; ací es descriuen dos de les principals (la fòrmula de Dykin i la fòrmula integral de Poincaré).

Fòrmula de Dynkin

Siga G un grup de Lie en àlgebra de Lie $𝔤$. Llavors

$\exp :𝔤\to G$

és una aplicació exponencial. La següent fòrmula combinatòria general va ser introduïda per Eugene Dynkin (1947),

$\log (\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\sum _{\begin{array}{c}{r}_1+s_1>0\\ ⋮\\ r_n+s_n>0\end{array}}\frac{[X^{r_1}{Y}^{s_1}{X}^{r_2}{Y}^{s_2}\cdots X^{r_n}{Y}^{s_n}]}{(\sum _{j=1}^n(r_j+s_j))\cdot \prod _{i=1}^n{r}_i!s_i!},$

a on la suma es realisa sobre tots els valors no negatius de $s_i$ i $r_i$, i s'ha utilisat la següent notació:

$[X^{r_1}{Y}^{s_1}\cdots X^{r_n}{Y}^{s_n}]=[\underset{r_1}{\underbrace{X,[X,\cdots [X}},[\underset{s_1}{\underbrace{Y,[Y,\cdots [Y}},\cdots [\underset{r_n}{\underbrace{X,[X,\cdots [X}},[\underset{s_n}{\underbrace{Y,[Y,\cdots Y}}]]\cdots ]].$

cal destacar que la série no és convergent en general; és convergent (i la fòrmula establida és vàlida) para tots $X$ i $Y$ lo suficientment menuts. Com [A, A] = 0, el terme és zero si $s_n>1$ o si $s_n=0$ i $r_n>1$.

Els primers térmens són ben coneguts, en tots els térmens d'orde superior que involucren [ X, I ] i les seues anidació de commutador (per lo tant, en l'àlgebra de Lie): La llista anterior enumera tots els sumants d'orde 5 o inferior (és dir, aquells que contenen 5 o menys X i I). La (anti-)/simetria X ↔ I en órdens alterns de l'expansió, es deduïx de Z(I, X) = −Z(−X,−I). Una prova elemental completa d'esta fòrmula es pot trobar en l'artícul dedicat a la derivada de l'aplicació exponencial.

Fòrmula integral

Hi ha numeroses atres expressions per a $Z$, moltes de les quals s'utilisen en la lliteratura de física. Una fòrmula integral coneguda és

$\log (e^X{e}^Y)=X+\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\psi \left(e^{{\mathrm{ad}}_X}{e}^{t{\text{ad}}_Y}\right)dt\right)Y,$

involucrant la funció generadora per als números de Bernoulli,

$\psi (x)\stackrel{\text{def}}{=}\frac{x\log x}{x-1}=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1-x{)}^n}{n(n+1)},$

utilisada per Poincaré i Hausdorff.

Ilustració del grup matricial de Lie

Per a un grup matricial de Lie $G\subset \text{GL}(n,ℝ)$ l'àlgebra de Lie és l'espai tangente de l'identitat I, i el commutador és simplement [ X, I ] = XY - YX ; l'aplicació exponencial és l'aplicació exponencial estàndart de matrius,

$\exp X=e^X=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{X^n}{n!}.$

Quan es resol per a Z en

$e^Z=e^X{e}^Y,$

usant les expansions de série per a exp i log, s'obté una fòrmula més simple:

$Z=\sum _{n>0}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\sum _{\begin{array}{c}{r}_i+s_i>0\\ 1\le i\le n\end{array}}\frac{X^{r_1}{Y}^{s_1}\cdots X^{r_n}{Y}^{s_n}}{r_1!s_1!\cdots r_n!s_n!},||X||+||Y||<\log 2,||Z||<\log 2.$

Els térmens de primer, segon, tercer i quart orde són:

• $z_1=X+Y$
• $z_2=\frac{1}{2}(XY-YX)$
• $z_3=\frac{1}{12}(X^{2}Y+X{Y}^2-2XYX+Y^{2}X+Y{X}^2-2YXY)$
• $z_4=\frac{1}{24}(X^2{Y}^2-2XYXY-Y^2{X}^2+2YXYX).$

cal destacar que les fòrmules per als distints $z_j$ 's no són la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff. Més be, la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff és una de les vàries expressions per a $z_j$ 's en térmens de commutadors repetits de $X$ i $Y$. El punt és que està llunt de ser obvi que és possible expressar cada $z_j$ en térmens de commutadors (s'invita al llector, per eixemple, a verificar per mig de càlcul directe que $z_3$ és expressable com una combinació llineal dels dos commutadors no trivials de tercer orde de $X$ i $Y$ a saber $[X,[X,Y]]$ i $[Y,[X,Y]]$). El resultat general de que cada $z_j$ es pot expressar com una combinació de commutadors va ser demostrat per Eichler d'una manera elegant i recursiva.

Una conseqüència de la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff és el següent resultat sobre la traça:

$\mathrm{tr}\log (e^X{e}^Y)=\mathrm{tr}X+\mathrm{tr}Y.$

És dir, ya que cada $z_j$ en $j\ge 2$ és expressable com una combinació llineal de commutadors, la traça de cada u d'estos térmens és zero.

Qüestions de convergència

Suponga's que $X$ i $Y$ són les següents matrius en l'àlgebra de Lie $\mathrm{sl}(2;ℂ)$ (l'espai de matrius $2\times 2$ en traça zero):

$X=\left(\begin{array}{cc}0& -\pi \\ \pi & 0\end{array}\right);Y=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ .

Llavors

$e^X{e}^Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 0& -1\end{array}\right).$

No és difícil demostrar que no existix una matriu $Z$ en $\mathrm{sl}(2;ℂ)$ en $e^X{e}^Y=e^Z$ (es poden trobar eixemples similars en l'artícul de Wei).

Este senzill eixemple ilustra un punt important: les diverses versions de la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que donen expressions per a Z en térmens de paréntesis de Lie iterados de X i I, descriuen séries formals de potències la convergència de les quals no està garantisada. Per lo tant, si es vol que Z siga un element real de l'àlgebra de Lie que conté X i I (en oposició a una série de potències formal), es deu supondre que X i I són menuts. Per lo tant, la conclusió de que l'operació del producte en un grup de Lie està determinada per l'àlgebra de Lie és solament una declaració local. De fet, el resultat no pot ser global, perque globalment es pot tindre grups de Lie no isomòrfics en àlgebra de Lie isomòrfiques.

Concretament, si es treballa en un àlgebra de Lie matricial i $\Vert .\Vert$ és una norma de matriu submultiplicativa donada, la convergència està garantisada si

$\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert <\frac{\ln 2}{2}.$

Vore també

• Matriu exponencial
• Logaritmo d'una matriu
• Fòrmula del producte de Lie (fòrmula del producte de Trotter)
• Correspondència grup de Lie-àlgebra de Lie
• Derivada de l'aplicació exponencial
• Expansió de Magnus
• Teorema de Stone-von Neumann
• Desigualtat de Golden-Thompson

Bibliografia

• Achilles, R., & Bonfiglioli, A. (2012). "The early proofs of the theorem of Campbell, Baker, Hausdorff, and Dynkin". Archive for history of exact sciences, 66(3), 295-358. doi:10.1007/s00407-012-0095-8
• Yu.A. Bakhturin (2001) [1994], "Campbell–Hausdorff formula", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Mija B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Bonfiglioli, A., Fulci, R. (2012): Topics in Noncommutative Algebra: The Theorem of Campbell, Baker, Hausdorff and Dynkin. Springer
• L. Corwin & F.P Greenleaf, Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
• Serre, Jean-Pierre (1965). Lie algebras and Lie groups, Benjamin.
• (1982).«Poincaré and Lie groups».Bulletin of the American Mathematical Society.6

175−186.doi:10.1090/s0273-0979-1982-14972-2.

• Shlomo Sternberg (2004) Lie Algebras, Orange Grove Books, ISBN 978-1616100520 free, online
• Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lie Groups in Physics", online lectures.