Derivada de l'aplicació exponencial

Archiu:Poincare.jpg

En 1899, les investigacions d'Henri Poincaré sobre la multiplicació sobre grups en térmens algebraics de Lie ho varen dur a la formulació del àlgebra envolvente universal

En la teoria dels grups de Lie, l'aplicació exponencial és una correspondència del àlgebra de Lie g d'un grup de Lie G sobre G. En el cas de que G siga un grup de Lie matricial, l'aplicació exponencial es reduïx a la matriu exponencial. L'aplicació exponencial, denotada exp:g → G, és analítica i té com derivada Plantilla:Sfracexp(X(t)):Tg → TG, a on X(t) és una ruta C¹ en l'àlgebra de Lie, i un diferencial estretament relacionat dexp:Tg → TG.

La fòrmula per a obtindre dexp va ser provada per primera volta per Friedrich Schur (1891). Més vesprada va ser elaborada per Henri Poincaré (1899) en el context del problema d'expressar la multiplicació de grups de Lie usant térmens algebraics de Lie. També es coneix a voltes com la fòrmula de Duhamel.

La fòrmula és important tant en matemàtica pura com aplicada. Entra en proves de teoremes com la fòrmula de Baker-Campbell-Hausdorff, i s'usa en freqüència en física, tant en la teoria de camps quàntics, com en l'expansió de Magnus en la teoria de destorbament i en la teoria de calibre de retículas.

En tot moment, les notacions exp(X) i i^X s'usaran indistintament per a denotar l'exponencial donat un argument, llevat quan, com es va senyalar, les notacions tenen significats distints. Ací es preferix la notació utilisada en el càlcul per a una millor legibilidad de les equacions. Per un atre costat, l'estil exp és a voltes més convenient per a les equacions en llínea, i és necessari en les rares ocasions en les que cal fer una distinció real.

Declaració

La derivada de l'aplicació exponencial està donada per Plantilla:Caixa d'equació

Explicació

• X = X(t) és un camí C¹ (contínuament diferenciable) en l'àlgebra de Lie en derivada X ´(t) = Plantilla:Sfrac. L'argument t s'omet a on no és necessari.
• ad_X és la transformació llineal de l'àlgebra de Lie donada per ad_X(I) = [X, I]. És l'acció contigua d'un àlgebra de Lie sobre sí mateixa.
• La fracció Plantilla:Sfrac ve donada per la série de potències

Plantilla:NumBlk

derivada de la série de potències de l'aplicació exponencial d'un endomorfisme llineal, com en la exponenciación matricial.

• Quan G és un grup de Lie matricial, totes les ocurrències de l'exponencial estan donades per la seua expansió en série de potències.

• Quan G no és un grup de Lie matricial, Plantilla:Sfrac encara pot expressar-se per la seua série de potències , mentres que les atres dos aparicions de exp en la fòrmula, que es corresponen en l'aplicació exponencial en la teoria de Lie, referida al fluix d'un temps del camp vectorial invariante esquerre X, és dir, element de l'àlgebra de Lie com es definix en el cas general, en el grup de Lie G vist com una varietat analítica. Açò encara equival exactament a la mateixa fòrmula que en el cas de la matriu.
• La fòrmula s'aplica al cas a on exp es considera com una aplicació en l'espai de la matriu sobre ℝ o ℂ (vore matriu exponencial). Quan G = GL(n, ℂ) o GL(n, ℝ), les nocions coincidixen exactament.

Per a calcular el diferencial dexp de exp en X, dexp_X:Tg_X → TG_exp(X), amprant la fòrmula estàndar

$d{\exp }_{X}Y={\frac{d}{dt}{e}^{Z(t)}|}_{t=0},Z(0)=X,Z^{\prime }(0)=Y$

En Z(t) = X + tY el resultat Plantilla:NumBlk se seguix immediatament de . En particular, dexp₀:Tg₀ → TG_exp(0) = TG_i és l'identitat perque Tg_X ≃ g (ya que g és un espai vectorial) i TG_i ≃ g.

Demostració

La prova donada a continuació assumix un grup de Lie matricial. Açò significa que l'aplicació exponencial de l'àlgebra de Lie al grup de Lie matricial està donat per la série de potències habitual, és dir, la exponenciación de la matriu. La conclusió de la prova encara es manté en el cas general, sempre que cada aparició de exp s'interprete correctament. Vegen-se els comentaris sobre el cas general que figuren més alvance.

L'esquema de la demostració fa us de la tècnica de diferenciació sobre s de l'expressió parametrizada

$\Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}\frac{\partial }{\partial t}{e}^{sX(t)}$

per a obtindre una equació diferencial de primer orde per a Γ que després es pot resoldre per mig de l'integració directa en s. La solució és llavors i^X Γ(1, t).

Lema
Siga Ad la representació adjunta del grup respecte a la seua àlgebra de Lie. L'acció està donada per Ad_AX = AXA⁻¹ per a A ∈ G, X ∈ g. Una relació habitualment utilisada entre Ad i ad s'expressa com

Demostració
Usant la regla del producte dos voltes, s'obté que

$\frac{\partial \Gamma }{\partial s}=e^{-sX}(-X)\frac{\partial }{\partial t}{e}^{sX(t)}+e^{-sX}\frac{\partial }{\partial t}[X(t)e^{sX(t)}]=e^{-sX}\frac{dX}{dt}{e}^{sX}.$

Llavors s'observa que

$\frac{\partial \Gamma }{\partial s}={\mathrm{A}\mathrm{d}}_{e^{-sX}}{X}^{\prime }=e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{sX}}{X}^{\prime },$

segons s'expressa en . Integrant, s'obté

$\Gamma (1,t)=e^{-X(t)}\frac{\partial }{\partial t}{e}^{X(t)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial \Gamma }{\partial s}ds=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{sX}}{X}^{\prime }ds.$

Usant la série de potències formal per a expandir l'exponencial, integrant terme per terme i finalment reconeixent ,

$\Gamma (1,t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{s}^k}{k!}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X{)}^k\frac{dX}{dt}ds=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(k+1)!}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_X{)}^k\frac{dX}{dt}=\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_X}\frac{dX}{dt},$

de lo que s'obté el resultat. La prova, com es presenta ací, és essencialment la que es dona en Rossmann (2002). Una prova en un caràcter més algebraic es pot trobar en Hall (2015).

Comentaris sobre el cas general

La fòrmula en el cas general ve donada per

$\frac{d}{dt}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C(t))=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C)\varphi (-\mathrm{a}\mathrm{d}(C))C{}^{\prime },$

a on

$\varphi (z)=\frac{e^z-1}{z}=1+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}{z}^2+\cdots ,$

que es reduïx formalment a

$\frac{d}{dt}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C(t))=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(C)\frac{1-e^{-{\mathrm{a}\mathrm{d}}_C}}{{\mathrm{a}\mathrm{d}}_C}\frac{dC(t)}{dt}.$

Ací la notació exp s'usa per a l'aplicació exponencial de l'àlgebra de Lie i la notació de càlcul en la fracció indica l'expansió formal en série habitual. Per a obtindre més informació i dos proves completes en el cas general, consulte's la referència de Sternberg (2004) disponible gratuïtament.

Vore també

• Representació adjunta (ad)
• Representació adjunta (Ad)
• Fòrmula Baker-Campbell-Hausdorff
• Mapa exponencial
• Matriu exponencial
• Logaritmo matricial
• Expansió de Magnus

Bibliografia

• (1985).Journal of Mathematical Physics.26(4)

601.doi:10.1063/1.526596.

• Veltman, M, 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Grups de mentires en física", conferències en llínea.
• (1967).Journal of Mathematical Physics.8(4)

962–982.doi:10.1063/1.1705306.