Teorema de la doble bombeta

Erro al crear miniatura:

Una doble bombeta. Note's que la superfície que separa la bombeta inferior chicoteta de la bombeta gran s'abomba cap a la bombeta gran.

En la teoria matemàtica de les superfícies mínimes, la teorema de la doble bombeta afirma que la forma que tanca i separa dos volúmens donats i té la mínima àrea superficial possible és una doble bombeta estàndar: tres superfícies esfèriques que es troben en ànguls de 120° sobre un círcul comú. La teorema de la doble bombeta va ser formulat i es va pensar que era cert en el XIX, i es va convertir en un «sério foc d'investigació» cap a 1989, pero no va ser demostrat fins a 2002.

La demostració combina múltiples ingredients. l'espai compacte de les corrents rectificables (una definició generalisada de superfícies) mostra que existix una solució. Un argument de simetria prova que la solució deu ser una superfície de revolució, i es pot restringir encara més a tindre un número acotat de peces suaus. La demostració de Jean Taylor de les Lleis de Plateau descriu cóm estes peces deuen estar formades i conectades entre sí, i un anàlisis final de casos mostra que, entre les superfícies de revolució conectades d'esta manera, solament la doble bombeta estàndar té àrea localment mínima.

La teorema de la doble bombeta estén la desigualtat isoperimétrica, segons la qual el recint de perímetro mínim de qualsevol àrea és un círcul, i el recint d'àrea superficial mínima d'un sol volum és una esfera. Resultats anàlecs sobre el recint òptim de dos volums es generalisen a formes ponderades d'energia superficial, a la mida gaussiana de superfícies i a espais euclídeos de qualsevol dimensió.

Enunciat

Segons la desigualtat isoperimétrica, el recint de perímetro mínim de qualsevol àrea és un círcul, i el recint d'àrea superficial mínima d'un sol volum és una esfera. L'existència d'una forma en àrea superficial acotada que tanca dos volums és òbvia: simplement tanque'ls en dos esferes separades. És menys obvi que dega existir alguna forma que tanque dos volums i tinga la mínima àrea superficial possible: podria ser el cas de que una seqüència de formes convergixca a un mínim (o a zero) sense alcançar-ho. Este problema també planteja qüestions definicionales complicades: ¿qué s'entén per una forma, l'àrea superficial d'una forma i el volum que tanca, quan tals coses poden ser no suaus o inclús fractals? No obstant, és possible formular el problema dels recints òptims de manera rigorosa utilisant la teoria de les corrents rectificables, i demostrar usant la compacidad en l'espai de corrents rectificables que tot parell de volums té un recint d'àrea mínima.

Erro al crear miniatura:

Doble bombetes en el pla euclídeo en tres combinacions diferents d'àrees. Rotando cada una d'estes en 3D, en la seua llínea de simetria vertical com a eix de rotació, produïx una doble bombeta tridimensional com superfície de revolució.

Les Lleis de Plateau afirmen que qualsevol forma mínima per peces suaus que tanque qualsevol volum o conjunt de volums deu prendre una forma comunament vista en les bombetes de sabó en la que superfícies de curvatura mija constant es troben de tres, formant ànguls diedros de 120° ($2\pi /3$ radianes). En una doble bombeta estàndar, tres pegats d'esferes es troben en este àngul a lo llarc d'un círcul compartit. Dos d'estes superfícies esfèriques formen el llímit exterior de la doble bombeta i una tercera en l'interior separa els dos volums entre sí. En bombetes físiques, els radis de les esferes són inversamente proporcionals a les diferències de pressió entre els volums que separen, segons l'equació de Young-Laplace. Esta conexió entre pressió i ràdio es reflectix matemàticament en el fet de que, per a qualsevol doble bombeta estàndar, els tres radis $r_1$, $r_2$ i $r_3$ de les tres superfícies esfèriques obedixen l'equació

$$\frac{1}{r_1}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3},$$

a on $r_1$ és el radi menor de les dos bombetes exteriors. En el cas especial que els dos volums i els dos radis exteriors són iguals, calcular el radi mig usant esta fòrmula du a una divisió per zero. En este cas, la superfície mija és en canvi un disc pla, que es pot interpretar com un pegat d'una esfera de radi infinit. La teorema de la doble bombeta afirma que, per a qualsevol parell de volums, la doble bombeta estàndar és la forma d'àrea mínima que els tanca; cap atre conjunt de superfícies tanca la mateixa cantitat d'espai en menys àrea total.

En el pla euclídeo, análogamente, el perímetro mínim d'un sistema de curves que tanca dos àrees donades està format per tres arcs circulares, en la mateixa relació entre les seues ràdios, que es troben en el mateix àngul de 120°. Per a dos àrees iguals, l'arc mig degenera en un segment de llínea recta. La doble bombeta estàndar tridimensional es pot vore com una superfície de revolució d'esta doble bombeta bidimensional. En qualsevol dimensió superior, el recint òptim per a dos volums està format novament per tres pegats d'hipersferas, que es troben en el mateix àngul de 120°.

Història

La desigualtat isoperimétrica tridimensional, segons la qual una esfera té la mínima àrea superficial per al seu volum, va ser formulada per Arquímedes pero no demostrada rigorosament fins a el XIX, per Hermann Schwarz. En el XIX, Joseph Plateau va estudiar la doble bombeta, i la veracitat de la teorema de la doble bombeta es va assumir sense demostració per C. V. Boys en l'edició de 1912 del seu llibre sobre bombetes de sabó. Plateau va formular les Lleis de Plateau, que descriuen la forma i les conexions entre peces suaus de superfícies en bombetes de sabó compostes; estes varen ser demostrades matemàticament per a recints de volum mínim per Jean Taylor en 1976.

Cap a 1989, el problema de la doble bombeta s'havia convertit en un «sério foc d'investigació». En 1991, Joel Foisy, un estudiant de grau en el Williams College, va anar el líder d'un equip d'estudiants de grau que va demostrar l'anàlec bidimensional de la conjectura de la doble bombeta. En la seua tesis de grau, Foisy va ser el primer en proporcionar un enunciat precís de la conjectura de la doble bombeta tridimensional, pero no va poder demostrar-la.

Una demostració per al cas restringit de la conjectura de la doble bombeta, per a dos volums iguals, va ser anunciada per Joel Hass i Roger Schlafly en 1995, i publicada en 2000.La demostració de la conjectura completa per Hutchings, Morgan, Ritoré i Ros va ser anunciada en 2000 i publicada en 2002. Despuix de treballs anteriors sobre el cas cuadridimensional, la generalisació completa a dimensions superiors va ser publicada per Reichardt en 2008, i en 2014, Lawlor va publicar una demostració alternativa de la teorema de la doble bombeta que generalisa tant a dimensions superiors com a formes ponderades d'energia superficial. Variacions del problema que consideren atres mides del tamany de la superfície envolvente, com la seua mida gaussiana, també han segut estudiades.