Teorema de factorisació de Weierstrass

En matemàtica, concretament en anàlisis complex, la teorema d'factorización de Weierstrass, cridat aixina en honor a Karl Weierstrass, assegura que les funcions sanceres poden ser representades per mig d'un producte que envol els seus zeros. Ademés, qualsevol successió que tenda a l'infinit té associada una funció sancera en zeros precisament en els punts d'eixa successió.

Una segona forma estesa a funcions meromorfas permet considerar una funció meromorfa donada com un producte de tres factors: els pols, els zeros, i una funció holomorfa associada distinta de zero.

Motivació

Les conseqüències del teorema fonamental de l'àlgebra són dobles. La primera d'elles, qualsevol successió finita $\{c_n\}$ en el pla complex té associat un polinomi que té zeros precisament en els punts d'eixa successió, $\prod _n(z-c_n).$

La segona d'elles, qualsevol funció polinòmica $p(z)$ és el pla complex té una factorización $p(z)=a\prod _n(z-c_n),$ a on a és una constant distinta de zero i c_n són els zeros de p.

Les dos formes de la teorema d'factorización de Weierstrass poden ser pensades com a extensions superiors de les funcions sanceres. La necessitat d'un mecanisme extra es demostra quan es considera el producte $\prod _n(z-c_n)$ si la successió $\{c_n\}$ no és finita. Açò mai pot definir una funció sancera, perque el producte infinit no convergix. Aixina que, en general, no es pot definir una funció sancera d'una successió de zeros preestablits o representar una funció sancera per mig de les seues zeros usant les expressions donades per mig de la teorema fonamental de l'àlgebra.

Una condició necessària per a la convergència d'un producte infinit en qüestió és que, cada factor $(z-c_n)$ deu aproximar-se a 1 quan $n\to \mathrm{\infty }$. Aixina que, sembla llògic que es dega buscar una funció que podria ser 0 en el punt preestablit i no obstant, permanéixer pròxim a 1 quan no es trobe en eixe punt, ademés de no introduir més zeros dels establits. Açò es definix en els factors elementals de Weierstrass. Estos factors servixen per al mateix propòsit que els factors $(z-c_n)$ de dalt.

Els factors elementals

També se'ls coneix com a factors primaris.

Per a $n\in \mathbb{N}$, es definixen els factors elementals com:

$E_n(z)=\{\begin{array}{cc}(1-z)& \text{si }n=0,\\ (1-z)\exp (\frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots +\frac{z^n}{n})& \text{de otra forma}.\end{array}$

La seua utilitat radica en el següent lema:

Lema (15.8, Rudin) para |z| ≤ 1, n ∈ N_o

$|1-E_n(z)|\le |z{|}^{n+1}.$

Les dos formes de la teorema

Existència d'una funció sancera en zeros específics

A voltes cridat com a teorema de Weierstrass.

Siga $\{a_n\}$ una successió d'número complejo distints de zero tals que $|a_n|\to \mathrm{\infty }$. Si $\{p_n\}$ és qualsevol successió de sancers tals que para tot $r>0$,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(r/|a_n|)}^{1+p_n}<\mathrm{\infty },$

llavors la funció

$f(z)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{p_n}(z/a_n)$

és sancera en zeros únicament en els punts $a_n$. Si el número $z_0$ es produïx en la successió $\{a_n\}$ exactament m voltes, llavors la funció f té un zero en $z=z_0$ de multiplicitat m.

• Note's que la successió $\{p_n\}$ en la declaració de la teorema sempre existix. Per eixemple sempre es podria prendre $p_n=n$ i s'obtindria convergència. Tal successió no és única: canviant esta un número finito de posicions, o prenent una atra seqüència p'_n ≥ p_n, no es «trencarà» la convergència.
• La teorema generalisa lo següent: successions en conjunts oberts (i per lo tant regions) de l'esfera de Riemann tenen funcions associades que són holomorfas en eixos subconjunts i tenen zeros en els punts de la successió.
• Note's també que el cas donat per la teorema fonamental de l'àlgebra està incorporat ací. Si la successió $\{a_n\}$ és finita llavors es pot prendre $p_n=0$ i obtindre: $f(z)=c{\prod }_n(z-a_n)$.

La teorema d'factorización de Weierstrass

A voltes cridat com a Teorema del producte/factor de Weierstrass.

Siga ƒ una funció sancera, i siga $\{a_n\}$ els zeros distints de 0 de ƒ, repetits d'acort en la seua multiplicitat; suponga's també que ƒ té un zero en z = 0 d'orde m ≥ 0 (un zero d'orde m = 0 en z = 0 significa que ƒ(0) ≠ 0). Llavors existix una funció sancera g i una successió de sancers $\{p_n\}$ tals que

$f(z)=z^m{e}^{g(z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right).$

Eixemples d'factorización

• $\sin \pi z=\pi z\prod _{n\ne 0}(1-\frac{z}{n})e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$
• $\cos \pi z=\prod _{n\ne 0}(1-\frac{2z}{2n-1})e^{2z/(2n-1)}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{4z^2}{(2n-1{)}^2})$

Teorema d'factorización de Hadamard

Si ƒ és una funció finita en un orde ρ, llavors esta admet una factorización

$f(z)=z^m{e}^{g(z)}{\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_p(z/a_n)$

a on g(z) és un polinomi de grau q, i q ≤ ρ.