Teorema de Cauchy (teoria de grups)

En teoria de grups, una branca de les matemàtiques, la teorema de Cauchy afirma que si G és un grup finito i p és un número primo que dividix el seu número d'elements, llavors existix un element de G d'orde p (és dir, que operat en si mateixa p voltes dona l'identitat i per a cap número menor que p se satisfà açò mateixa). És dir, existix un x en G tal que p és el menor número natural major que zero que satisfà que x^p = i, a on i és l'element neutre de G. El resultat rep el seu nom d'Augustin Louis Cauchy, que ho va descobrir en 1845.

La teorema és casi el recíproc del teorema de Lagrange, que afirma que el número d'elements de qualsevol subgrup d'un grup finito G dividix al cardinal (número d'elements) de G. En particular, l'orde de cada element de G és el cardinal del subgrup que genera i, per tant, deu dividir al cardinal de G. La pregunta natural ara és si el recíproc és cert: per a qualsevol divisor del cardinal de G existix un element d'eixe orde? En general, la resposta és negativa, pero la teorema de Cauchy afirma que per a qualsevol divisor primer del cardinal de G sí que hi ha un element de G d'eixe orde.

Per un atre costat, la teorema de Cauchy és un cas particular dels teoremes de Sylow, que afirma que si pⁿ és la major potència d'un primer p que dividix al cardinal de G, llavors G té un subgrup de pⁿ elements. Usant que tot p-grup (un grup d'una potència d'un número primo elements) és resoluble es pot demostrar que G té subgrups de p^r elements per a tot r menor o igual que n. En particular, té un subgrup de p elements i, com tot grup de cardinal primer és cíclico, té un generador, que serà un element d'orde p, com afirma la teorema de Cauchy.

El matemàtic francés Augustin Louis Cauchy va publicar esta famosa teorema de grups finitos en un artícul titulat «Sur li nomene de valeurs égale ou inégales que peut acquérir unix fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'unix manière quelconque» [Sobre el número de valors iguals o desiguals que pot adquirir una funció de n variables independents, quan es permuta estes variables entre elles d'una manera qualsevol].

Enunciat i demostració

La versió general del resultat se sol demostrar per inducció forta sobre el cardinal de G i usant l'equació de classes, encara que si el grup és abeliano es poden fer demostracions més elementals.

Siga $G$ un grup finito i $p$ un número primo. Si $p$ dividix al cardinal de $G$, llavors $G$ té un element d'orde $p$.

Demostració

Escomencem demostrant la teorema si $G$ és abeliano i despuix deduirem el cas general per l'equació de classes. Abdós demostracions es fan per inducció forta sobre $n=|G|$, en cas base $n=p$.

Si $|G|=p$ és un número primo, sabem que $G$ és cíclico i té llavors un generador, que tindrà orde $p$ (de fet qualsevol element distint del neutre té orde $p$). Tenim puix el cas base de l'inducció demostrat en abdós casos.

Supongam primer que $G$ és abeliano i que, per hipòtesis, $p$ dividix a $n=|G|$. Siga $a\in G$ distint de l'element neutre (podem perque $|G|\ge 2$ en ser divisible per un número primo) i considerem $H=⟨a⟩$ el grup cíclico generat per $a$. Distinguim dos casos. Si $p$ dividix a $|H|$, podem considerar l'element $a^{|H|/p}\in H$, que té orde $p$, com volíem. Si $p$ no dividix a $|H|$, denotem per $[G:H]$ l'índex de $H$. Llavors, com $|G|=|H|[G:H]$ i $p$ és un número primo que dividix a $|G|$ pero no a $|H|$, deu dividir a $[G:H]$, que és el cardinal del grup cocient $G/H$ (que està ben definit immediatament perque $G$ és abeliano). Com $a\ne e$, tenim que $|H|=|⟨a⟩|=\mathrm{ord}(a)>1$ i llavors, com $|G|=|H|[G:H]$, resulta que $|G/H|=[G:H]<|G|$. Per inducció forta, $G/H$ té un element d'orde $p$. Este element és la classe $xH$ de cert element $x$ de $G$. Si $m$ és l'orde de $x$ en $G$, tenim que $(xH{)}^m=x^{m}H=eH$ en $G/H$. Com $xH$ té orde $p$, tenim que $p$ dividix a $m$. I ara $x^{m/p}\in G$ és un element d'orde $p$, com volíem.

Vejam ara el cas general, que resoldrem per inducció forta i reduint-ho al cas abeliano. Siga puix $Z$ el centre de $G$, que és un grup abeliano. l'equació de classes nos diu que

$(*)|G|=|Z|+\sum _{i=1}^r[G:C_G(g_i)]$,

a on $g_1,\dots ,g_r$ és un conjunt de representants de les classes de conjugació de $G$ de més d'un element (és dir, $[G:C_G(g_i)]>1$) i $C_G(g_i)$ representa el centralizador de $g_i$.

Distinguim ara dos casos. Si $p$ dividix al cardinal de $Z$, com $Z$ és abeliano, ya hem vist que té un element d'orde $p$. Com $Z\subseteq G$, de fet hem trobat un element de $G$ d'orde $p$. Si pel contrari $p$ no dividix al cardinal de $Z$, llavors, com sí que dividix a el de $G$, per $(*)$, té que existir un $i$ tal que $p$ no dividix a $[G:C_G(g_i)]=\frac{|G|}{|C_G(g_i)|}$ (si no, rebujant $|Z|$, tindríem que $p$ lo tindria que dividir). Ara, com $p$ sí que dividix al cardinal de $G$, té que dividir a $|C_G(g_i)|$. Per un atre costat, com $\frac{|G|}{|C_G(g_i)|}=[G:C_G(g_i)]>1$, tenim que $|C_G(g_i)|<|G|$. Per inducció forta, $C_G(g_i)\subseteq G$ té un element d'orde $p$, i hem trobat igualment un element de $G$ d'orde $p$. $◻$

Referències

• Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, pág.74, Teorema 4.2
• (1845).«Mémoire sur els arrangements que l'on peut former avec dones lettres données, et sur els permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre».Exercises d'analyse et de physique mathématique.Paris:3

151–252.

• (1932).«Oeuvres complètes».Lilliad - Université de Lille - Sciences et Technologies.Gauthier-Villars.Paris:13

171–282.

• (2009).«Basic Algebra».Dover Publications.I

80.

• (1959).«Another proof of Cauchy's group theorem».American Mathematical Monthly.66(2)

119.doi:10.2307/2310010.

• (2004).«The mathematical life of Cauchy's group theorem».Història Mathematica.31(2)

196-221.doi:10.1016/S0315-0860(03)00003-X.

Vore també

• Teoremes de Sylow