Substitució en integració

En càlcul, integració per substitució, també conegut com a canvi de variable, és un método per a evaluar integrals i antiderivada. És la contraparte a la regla de cadena per a diferenciació.

Substitució per a una variable

Introducció

Abans d'enunciar la teorema de manera formal, considere un cas senzill per a integrals indefinides.

Calcular $\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx$

Siga $u=2x^3+1$. Açò significa $\frac{du}{dx}=6x^2$ o en forma diferencial $du=6x^{2}dx$. Ara

,$\begin{array}{cc}\int (2x^3+1{)}^7(x^2)dx& =\frac{1}{6}\int \underset{u^7}{\underbrace{(2x^3+1{)}^7}}\underset{du}{\underbrace{(6x^2)dx}}\\ & =\frac{1}{6}\int u^{7}du\\ & =\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}{u}^8\right)+C\\ & =\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C\end{array}$

a on $C\in ℝ$ és una constant arbitrària d'integració.

Este procediment és freqüentment utilisat pero no totes les integrals permeten el seu us. En qualsevol cas en que siga aplicable, el resultat pot verificar-se derivant i comparant en l'integrant original.

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}[\frac{1}{48}(2x^3+1{)}^8+C]& =\frac{1}{48}8(2x^3+1{)}^7(6x^2)\\ & =x^2(2x^3+1{)}^7\end{array}$

Per a integrals definides, els llímits d'integració deuen ajustar-se a la nova variable pero el procediment és pràcticament igual.

Integrals definides

Siga $\phi :[a,b]\to I$ una funció contínuament diferenciable a on $I\subseteq ℝ$ és un interval. Suponga's que $f:I\to ℝ$ és una funció contínua llavors

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du.$

La fòrmula és usada per a transformar una integral a una integral que és més fàcil de calcular.

Demostració

La fòrmula d'integració per substitució pot ser demostrada utilisant el teorema fonamental de càlcul com seguix.

Sean $f$ i $\phi$ funcions tals que $f$ és contínua en $I$ i $\phi$ té derivada ${\phi }^{\prime }$ tal que és integrable en l'interval tancat $[a,b]$ llavors la funció $f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$ també és integrable en $[a,b]$. Per lo que les integrals

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx$

i

$\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du$

existixen i queda demostrar que són iguals.

Ya que $f$ és contínua, té una antiderivada $F$. La funció composta $F\circ \phi$ està definida, com $\phi$ és diferenciable, combinant la regla de cadena i la definició d'antiderivada obtenim

$(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$

Aplicant el teorema fonamental del càlcul dos voltes obtenim

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}(F\circ \phi {)}^{\prime }(x)dx\\ & =(F\circ \phi )(b)-(F\circ \phi )(a)\\ & =F(\phi (b))-F(\phi (a))\\ & =\underset{\phi (a)}{\overset{\phi (b)}{\int }}f(u)du,\end{array}$

Eixemples

Eixemple 1

Considere l'integral

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx.$

Faça la substitució $u=x^2+1$ per a obtindre $du=2xdx$, açò és $xdx=\frac{1}{2}du$ Per lo que

$\begin{array}{cc}\underset{x=0}{\overset{x=2}{\int }}x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\underset{u=1}{\overset{u=5}{\int }}\cos (u)du\\ & =\frac{\mathrm{sen}(u)}{2}{|}_1^5\\ & =\frac{\mathrm{sen}(5)-\mathrm{sen}(1)}{2}.\end{array}$

Ya que el llímit inferior $x=0$ va ser reemplaçat per $u=1$ i el llímit superior $x=2$ en $2^2+1=5$, retornar a la variable original $x$, va ser innecessari.

Antiderivada

La substitució pot ser usada per a determinar antiderivada. Un tria una relació entre $x$ i $u$, determina la relació corresponent entre $dx$ i $du$ per mig de diferenciació i realisa les substitucions.

Similar a l'eixemple 1 de dalt, la següent antiderivada pot ser obtinguda utilisant este método:

$\begin{array}{cc}\int x\cos (x^2+1)dx& =\frac{1}{2}\int 2x\cos (x^2+1)dx\\ & =\frac{1}{2}\int \cos udu\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{sen}u+C\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{sen}(x^2+1)+C\end{array}$

a on $C\in ℝ$ és una constant arbitrària d'integració.

Per a este eixemple, no va haver llímits d'integració que modificar pero en l'últim pas retornar a la variable original $u=x^2+1$ és necessari.

La funció tangente pot ser integrada utilisant substitució expressant-la en térmens del sen i coseno:

$\int \tan xdx=\int \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}dx$

Utilisant la substitució $u=\cos x$ obtenim $du=-\sin xdx$ i

$\begin{array}{cc}\int \tan xdx& =\int \frac{\mathrm{sen}x}{\cos x}dx\\ & =\int -\frac{du}{u}\\ & =-\ln |u|+C\\ & =-\ln |\cos x|+C\\ & =\ln |\sec x|+C.\end{array}$

Substitució per a múltiples variables

Un també pot utilisar el método de substitució quan integra funcions de vàries variables. Ací la funció de substitució $(v_1,\dots ,v_n)=\phi (u_1,\dots ,u_n)$ necessita ser inyectiva i contínuament diferenciable, els diferencials es transformen com

$d{v}_1\cdots d{v}_n=|\det (D\phi )(u_1,\dots ,u_n)|d{u}_1\cdots d{u}_n,$

a on $\det (D\phi )(u_1,\dots ,u_n)$denota el determinant de la matriu jacobiana de derivades parcials de $\phi$ en el punt $(u_1,\dots ,u_n)$.

De manera més precisa, el fòrmula del canvi de variables s'enuncia en la següent teorema

Teorema. Sean $U$ un subconjunt obert en ${ℝ}^n$ i $\phi :U\to {ℝ}^n$ una funció diferenciable inyectiva en derivades parcials contínues llavors per a qualsevol funció contínua real $f$ en soport contingut en $\phi (U)$

$\underset{\phi (U)}{\int }f(𝐯)d𝐯=\underset{U}{\int }f(\phi (𝐮))|\det (D\phi )(𝐮)|d𝐮.$

Per a funcions Lebesgue mesurables, la teorema pot enunciar-se de la següent forma:

Teorema. Sean $U$ un subconjunt mesurable en ${ℝ}^n$ i $\phi :U\to {ℝ}^n$ una funció inyectiva, suponga que per a cada $x\in U$ existix ${\phi }^{\prime }(x)\in {ℝ}^{n,n}$ tal que $\phi (y)=\phi (x)+{\phi }^{\prime }(x)(y-x)+o(||y-x||)$ quan $y\to x$ llavors $\phi (U)$ és mesurable i per a qualsevol funció real $f$ definida en $\phi (U)$

$\underset{\phi (U)}{\int }f(v)dv=\underset{U}{\int }f(\phi (u))|\det {\phi }^{\prime }(u)|du$

Vore també

• Funció de densitat de provabilitat
• Substitució de variables
• Substitució trigonométrica
• Substitució de Weierstrass
• Substitució de Euler

Referències

• .
• .
• .
• .