Substitució de Euler

La substitució de Euler és un método per a evaluar integrals de la forma

$\int R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx,$

a on $R$ és una funció racional de $x$ i de $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$. En tals casos, l'integrant es pot canviar a una funció racional usant les substitucions de Euler.

Primera substitució

La primera substitució de Euler s'utilisa quan $a>0$. Se substituïx

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=\pm x\sqrt{a}+t$

i es resol l'expressió resultant per a $x$. Es té que

$x=\frac{c-t^2}{\pm 2t\sqrt{a}-b}$

i el terme $dx$ es pot expressar racionalmente en $t$.

En esta substitució, es pot elegir el signe positiu o el signe negatiu.

Segona substitució

Si $c>0$, es pren

$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=xt\pm \sqrt{c}.$

Es resol per a $x$ de manera similar al cas anterior i llavors

$x=\frac{\pm 2t\sqrt{c}-b}{a-t^2}.$

Novament, es pot elegir el signe positiu o negatiu.

Vore també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtiques|20px|Vore el portal sobre Matemàtiques]] Portal:Matemàtiques. Contingut relacionat en Matemàtiques.
• Métodos d'integració
• Substitució trigonométrica
• Substitució de Weierstrass