Integració per substitució trigonométrica

En matemàtiques, la substitució trigonométrica consistix en la substitució de determinades expressions per mig de l'us de funcions trigonométricas. En càlcul, la substitució trigonométrica és una tècnica que permet evaluar integrals, ya que es poden utilisar identitats trigonométricas per a simplificar certes integrals que contenen expressions radicals.

Cas I: Integrant contenint $a^2-x^2$

Es fa el canvi de variable

$x=a\mathrm{sen}\theta$

i s'utilisa l'identitat trigonométrica

${\mathrm{sen}}^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$

.

Archiu:Trig Sub Triangle 1.png

Construcció geomètrica per a Cas $\text{I}$

Integral Indefinida

Eixemple I

Per a calcular l'integral

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

es pot realisar el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =a\mathrm{sen}\theta \\ dx& =a\cos \theta d\theta \\ \theta & =\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)\end{array}$

llavors

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2-a^2{\mathrm{sen}}^2\theta }}d\theta \\ & =\int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2(1-{\mathrm{sen}}^2\theta )}}d\theta \\ & =\int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta }}d\theta \\ & =\int d\theta \\ & =\theta +C\\ & =\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$

Els passos anteriors varen requerir que $a>0$ i $\cos \theta >0$.

És possible triar $a$ per a que siga la raïl principal de $a^2$ i impondre la restricció $-\pi /2<\theta <\pi /2$ utilisant la funció arc sen.

Per a una integral definida, es deu averiguar cóm canvien els llímits de l'integració. Per eixemple, quan $x$ va de $0$ a $a/2$, llavors $\mathrm{sen}\theta$ va de $0$ a $1/2$, i $\theta$ va de $0$ a $\pi /6$. En conseqüència,

$\underset{0}{\overset{a/2}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\underset{0}{\overset{\pi /6}{\int }}d\theta =\frac{\pi }{6}.$

Es necessita elegir els llímits en esment. Degut a que l'integració anterior requerix que $-\pi /2<\theta <\pi /2$, $\theta$ solament pot passar de $0$ a $\pi /6$. Si s'ignora esta restricció, es podria haver elegit $\theta$ per a passar de $\pi$ a $5\pi /6$, lo que hauria resultat en un valor real negatiu.

Alternativament, es deuen evaluar completament les integrals indefinides abans d'aplicar les condicions de contorn. En eixe cas, la antiderivada dona

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{a/2}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}& =\mathrm{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right){|}_0^{a/2}\\ & =\mathrm{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)-\mathrm{arcsen}(0)\\ & =\frac{\pi }{6}\end{array}$

com abans.

Eixemple II

L'integral

$\int \sqrt{a^2-x^2}dx$

pot ser evaluada fent el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =a\mathrm{sen}\theta \\ dx& =a\cos \theta d\theta \\ \theta & =\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)\end{array}$

a on $a>0$ de modo que $\sqrt{a^2}=a$ i

$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$

perque $\cos \theta \ge 0$ i $\sqrt{{\cos }^2\theta }=\cos \theta$

Després

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{a^2-x^2}dx& =\int \sqrt{a^2-a^2{\mathrm{sen}}^2\theta }(a\cos \theta )d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2(1-{\mathrm{sen}}^2\theta )}(a\cos \theta )d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2({\cos }^2\theta )}(a\cos \theta )d\theta \\ & =\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )d\theta \\ & =a^2\int {\cos }^2\theta d\theta \\ & =a^2\int \left(\frac{1+\cos 2\theta }{2}\right)d\theta \\ & =\frac{a^2}{2}(\theta +\frac{1}{2}\mathrm{sen}2\theta )+C\\ & =\frac{a^2}{2}(\theta +\mathrm{sen}\theta \cos \theta )+C\\ & =\frac{a^2}{2}(\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}})+C\\ & =\frac{a^2}{2}\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\end{array}$

Integral Definida

Per a una integral definida, els llímits d'integració canvien una volta que es realisa la substitució i estos estan determinats per

$\theta =\text{arcsen}\left(\frac{x}{a}\right)$

en valors per a $\theta$ en el ranc

$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$

Eixemple I

Considere's l'integral definida

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx$

que pot ser evaluada fent el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =2\mathrm{sen}\theta \\ dx& =2\cos \theta d\theta \end{array}$

i en este cas, els llímits d'integració estaran determinats per

$\theta =\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)$

Tenim que

si $x=-1$ llavors $\theta =\text{arcsen}(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}$

i si $x=1$ llavors $\theta =\text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{6}$

llavors

$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx& =\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}\sqrt{4-4{\mathrm{sen}}^2\theta }(2\cos \theta )d\theta \\ & =\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}\sqrt{4(1-{\mathrm{sen}}^2\theta )}(2\cos \theta )d\theta \\ & =\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}\sqrt{4({\cos }^2\theta )}(2\cos \theta )d\theta \\ & =\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}(2\cos \theta )(2\cos \theta )d\theta \\ & =4\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}{\cos }^2\theta d\theta \\ & =4\underset{-\pi /6}{\overset{\pi /6}{\int }}\left(\frac{1+\cos 2\theta }{2}\right)d\theta \\ & =2{[\theta +\frac{1}{2}\mathrm{sen}2\theta ]}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\ & =[2\theta +\mathrm{sen}2\theta ]{|}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\ & =(\frac{\pi }{3}+\mathrm{sen}\frac{\pi }{3})-(-\frac{\pi }{3}+\mathrm{sen}(-\frac{\pi }{3}))\\ & =\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}\end{array}$

Per un atre costat, si apliquem directament els llímits d'integració per a la fòrmula de la antiderivada obtenim

$\begin{array}{cc}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\sqrt{4-x^2}dx& ={[2\text{arcsen}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}]}_{-1}^1\\ & =(2\text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\sqrt{3})-(2\text{arcsen}(-\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\sqrt{3})\\ & =(2\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2})-(2\cdot (-\frac{\pi }{6})-\frac{\sqrt{3}}{2})\\ & =\frac{2\pi }{3}+\sqrt{3}\end{array}$

Cas II: Integrant contenint $a^2+x^2$

Es fa el canvi de variable $x=a\tan \theta$ i s'utilisa l'identitat trigonométrica ${\sec }^2(\theta )-{\tan }^2(\theta )=1$.

Integral Indefinida

Archiu:Trig Sub Triangle 2.png

Construcció geomètrica per a Cas $\text{II}$

Eixemple I

En l'integral

$\int \frac{dx}{a^2+x^2}$

fem el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =a\tan \theta \\ dx& =a{\sec }^2\theta d\theta \\ \theta & =\arctan \left(\frac{x}{a}\right)\end{array}$

de modo que l'integral es convertix en

$\begin{array}{cc}\int \frac{dx}{a^2+x^2}& =\int \frac{a{\sec }^2\theta }{a^2+a^2{\tan }^2\theta }d\theta \\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta }{a^2(1+{\tan }^2\theta )}d\theta \\ & =\int \frac{a{\sec }^2\theta }{a^2{\sec }^2\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{a}\int d\theta \\ & =\frac{\theta }{a}+C\\ & =\frac{1}{a}\arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C\end{array}$

per a $a\ne 0$.

Eixemple II

L'integral

$\int \sqrt{a^2+x^2}dx$

pot ser evaluada fent el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =a\tan \theta \\ dx& =a{\sec }^2\theta d\theta \\ \theta & =\arctan \left(\frac{x}{a}\right)\end{array}$

a on $a>0$ de modo que $\sqrt{a^2}=a$ i

$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$

per lo que $\sec \theta >0$ i $\sqrt{{\sec }^2\theta }=\sec \theta$.

Llavors

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{a^2+x^2}dx& =\int \sqrt{a^2+a^2{\tan }^2\theta }(a{\sec }^2\theta )d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2(1+{\tan }^2\theta )}(a{\sec }^2\theta )d\theta \\ & =\int \sqrt{a^2{\sec }^2\theta }(a{\sec }^2\theta )d\theta \\ & =\int (a\sec \theta )(a{\sec }^2\theta )d\theta \\ & =a^2\int {\sec }^3\theta d\theta .\\ \end{array}$

L'integral de la secante cúbica pot ser evaluada utilisant integració per parts, donant com a resultat

$\begin{array}{cc}\int \sqrt{a^2+x^2}dx& =\frac{a^2}{2}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\ & =\frac{a^2}{2}(\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{x}{a}+\ln |\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}+\frac{x}{a}|)+C\\ & =\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2+x^2}+a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|)+C.\end{array}$

Integral Definida

Per a una integral definida, els llímits d'integració canvien una volta que es fa la substitució i estos estan determinats per

$\theta =\arctan \left(\frac{x}{a}\right)$

en valors per a $\theta$ en el ranc

$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$

Eixemple I

Considere's l'integral definida

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{4}{1+x^2}dx$

esta pot ser evaluada fent el canvi de variable

$\begin{array}{cc}x& =\tan \theta \\ dx& ={\sec }^2\theta d\theta \end{array}$

en els llímits d'integració determinats per $\theta =\arctan x$.

Tenim que

si $x=0$ llavors $\theta =\arctan (0)=0$

i si $x=1$ llavors $\theta =\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$

de modo que

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{4}{1+x^2}dx& =4\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{{\sec }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }d\theta \\ & =4\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{{\sec }^2\theta }{{\sec }^2\theta }d\theta \\ & =4\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}d\theta \\ & =4\theta {|}_0^{\pi /4}\\ & =4\left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\pi \end{array}$

Vore també

• Métodos d'integració
• Substitució en integració
• Substitució de Weierstrass
• Substitució de Euler