Relacions mètriques en el triàngul

Les relacions mètriques en el triàngul són aquelles que tracten els vínculs entre costats o ànguls, entre els quals es destaca el Teorema de Pitágoras que és vàlit exclusivament en el triàngul rectàngul i s'aplica sobre la llongitut dels catetos, hipotenusa, l'altura relativa a l'hipotenusa i els segments determinats sobre esta com a proyeccions dels catetos de l'àngul

Elements del triàngul

Els elements principals d'un triàngul són: vèrtiços, costats i ànguls. Plantilla:Triànguls (Designació convencionals)

Triàngul rectàngul

Un triàngul rectàngul i els seus elements.

Triàngul rectàngul es denomina al triàngul en el que un dels seus ànguls és recte, és dir, medix 90° (graus sexagesimals) o π/2 radianes. Plantilla:Triànguls (classificació per amplitut dels seus ànguls) Fòrmules per a calcular en un triangulo rectàngul, un costat desconegut en funció dels atres dos, a on a i b són els catetos i c és l'hipotenusa. Plantilla:Pitágoras (fòrmules pràctiques) Es denomina hipotenusa al costat major del triàngul, el costat opost al àngul recte.

Es diuen catetos als dos costats menors, els que conformen l'àngul recte.

Qualsevol triàngul es pot dividir en 2 triànguls rectànguls.

Donat un triàngul rectàngul ABC (vore l'image), en àngul recte en C, a on:

c és l'hipotenusa,

h és l'altura relativa a l'hipotenusa,

p i q són els segments determinats en l'hipotenusa,

es complixen les següents propietats:

• Un cateto és mija proporcional- o ben mija geomètrica- entre l'hipotenusa i la proyecció ortogonal d'este mateix cateto sobre l'hipotenusa:

$a^2=c\cdot p$

$b^2=c\cdot q$

comprovació

el triàngul ABC és semblant al triàngul CHA, per tant:

$\frac{b}{c}=\frac{q}{b}$

rebujant

$b^2=c\cdot q$

• El quadrat de la mida de l'altura és igual al producte de les proyeccions ortogonals dels catetos sobre l'hipotenusa:

$h^2=p\cdot q$

comprovació

el triàngul CHB és semblant al triàngul CHA, per tant:

$\frac{q}{h}=\frac{h}{p}$

rebujant:

$h^2=p\cdot q$

• El quadrat de l'hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catetos (Teorema de Pitágoras).

$c^2=a^2+b^2$

comprovació

de la teorema anterior:

$a^2=c\cdot p$

$b^2=c\cdot q$

sumant abdós equacions:

$b^2+a^2=c\cdot q+c\cdot p$

després

$b^2+a^2=c(p+q)$

pero p+q=c

$b^2+a^2=c\cdot c$

finalment

$c^2=a^2+b^2$

• El producte dels catetos és igual al producte de l'hipotenusa per la seua altura:

$a.b=h\cdot c$

comprovació

existixen dos comprovacions:

1) a partir de les superfícies o àrees:

$A=\frac{1}{2}a\cdot b$

i

$A=\frac{1}{2}c\cdot h$

això vol dir que:

$\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{2}c\cdot h$

que en eliminar els doses:

$a\cdot b=c\cdot h$

2) el triàngul ABC és semblant al triàngul CHA, per tant:

$\frac{c}{h}=\frac{1}{b}a$

rebujant:

$a\cdot b=c\cdot h$

• L'invers del quadrat de l'altura de l'hipotenusa és igual a la suma dels inversos dels quadrats dels catetos:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

comprovació

per la teorema de Pitágoras:

$c^2=a^2+b^2$

dividim entre $(a\cdot b{)}^2$:

$\frac{c^2}{(ab{)}^2}=\frac{a^2+b^2}{(a\cdot b{)}^2}$

pero a.b=c.h

$\frac{c^2}{(ch{)}^2}=\frac{a^2+b^2}{(a\cdot b{)}^2}$

eliminant les c i convertint en 2 la fracció de la dreta:

$\frac{1}{h^2}=\frac{a^2}{(a\cdot b{)}^2}+\frac{b^2}{(a\cdot b{)}^2}$

simplificant

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$

Figura 1 - Els segments m i n són les respectives proyeccions dels costats b i a sobre l'hipotenusa c, sent h l'altura corresponent a l'hipotenusa.

En un triàngul rectàngul:

La mida d'un cateto és mija proporcional entre la mida de l'hipotenusa i la seua proyecció sobre ella.

$\frac{a}{b}=\frac{b}{m}$   , també es complix:   $\frac{a}{c}=\frac{c}{n}$

La medida de l'altura és mija proporcional entre els dos segments que determina sobre l'hipotenusa.

$\frac{m}{h}=\frac{h}{n}$   , és dir:   $h^2=m\cdot n$

Les tres altures del triàngul rectàngul poden calculara com:

$h_a=\frac{b\cdot c}{a}$   ;   $h_b=c$   ;   $h_c=b$

a on b i c són els catetos i a, l'hipotenusa, mentres que h_a, h_b i h_c són les altures sobre els respectius costats.

La relació entre catetos i hipotenusa s'establix per mig del Teorema de Pitágoras:

$a^2=b^2+c^2$

a on $a$ és la mida de l'hipotenusa.

Teorema de l'altura

En matemàtiques, la teorema de "l'altura d'un triàngul rectàngul" establix que:

En qualsevol triàngul rectàngul l'altura relativa a l'hipotenusa és la mija proporcional entre les proyeccions ortogonals dels catetos sobre l'hipotenusa.

Demostració

L'altura del triàngul rectàngul ABC (vore Figura 1) ho dividix en dos triànguls rectànguls semblants, de manera que

$\frac{h}{n}=\frac{m}{h}$

Figura 1: Teorema de l'altura.

Multiplicant els dos membres de l'igualtat per $hn$ es té:

$h^2=mn$

per

lo que

(1) $h=\sqrt{mn}$

Una atra forma de la mateixa teorema

L'altura h corresponent a l'hipotenusa d'un triàngul rectàngul (vore Figura 1) també pot obtindre's reemplaçant als valores m i n de l'equació (1) de la present teorema pels seus respectius equivalents daus pel teorema del cateto.

$m=\frac{b^2}{a}$    ;    $n=\frac{c^2}{a}$

(h2) $h=\sqrt{mn}=\sqrt{\frac{b^2}{a}\frac{c^2}{a}}$

lo que en simplificar en l'últim terme de l'equació (h2) la raïl en els quadrats nos conduïx a

(h3) $h=\frac{bc}{a}$

A on h és l'altura (relativa a l'hipotenusa), b i c els catetos i a l'hipotenusa.

L'equació (h3) nos permet establir l'enunciat (forma 2) de la teorema :

En tot triàngul rectàngul l'altura h (relativa a l'hipotenusa) és igual al producte dels seus catetos b i c dividits per l'hipotenusa a.

Teorema del cateto

Figura 1 - Els segments m i n són les respectives proyeccions dels costats b i a sobre l'hipotenusa c, sent h l'altura corresponent a l'hipotenusa.

La teorema del cateto establix lo següent:

Esta teorema (vore Figura 1) pot expressar-se matemàticament —per a cada u de les seues dos catetos— com:

$b^2=cm$

$a^2=cn$

A on m i n són, respectivament, les proyeccions dels catetos b i a sobre l'hipotenusa c.

Demostració

Siga el triàngul ΔABC rectàngul en C, dispost de modo que la seua base és l'hipotenusa c. L'altura h determina els segments m i n, que són, respectivament, les proyeccions dels catetos b i a sobre l'hipotenusa.

Els triànguls rectànguls ΔABC, ΔACH i ΔBCH tenen iguals els seus ànguls, i per lo tant són semblants:

1. Tots tenen un àngul recte.
2. Els ànguls B i ACH són iguals per ser aguts, per comprendre un mateix arc, i tindre els seus costats perpendiculars.
3. Igualment succeïx en els ànguls A i BCH.

Figura 1 - Els segments m i n són les respectives proyeccions dels costats b i a sobre l'hipotenusa c, sent h l'altura corresponent a l'hipotenusa.

ya que en les figures semblants els costats homòlecs són proporcionals, tindrem que:

• Per la semblança entre els triànguls ΔACH i ΔABC

$\frac{b}{m}=\frac{c}{b}$

d'on,

$b^2=cm$

• Per la semblança entre els triànguls ΔBCH i ΔABC

$\frac{a}{n}=\frac{c}{a}$

$a^2=cn$

i la teorema queda demostrat.

Corolari

“En tot triàngul rectàngul la llongitut de la proyecció ortogonal de qualsevol cateto sobre l'hipotenusa és igual al quadrat de la llongitut d'eixe mateix cateto dividit per la llongitut de l'hipotenusa.”

Basats en les dos equacions de la teorema anterior, per a deduir el «corolari 1» n'hi ha prou en rebujar en cada una d'elles, la respectiva variable de la seua proyecció ortogonal, sent estes m i n:

$b^2=cm;a^2=cn$

en les que en rebujar respectivament m i n produïxen les equacions del «corolari 1»:

$m=\frac{b^2}{c};n=\frac{a^2}{c}$

a on m és la proyecció ortogonal del cateto b sobre l'hipotenusa c (vore figura 1) i n és la proyecció ortogonal del cateto a també sobre l'hipotenusa c.

Raons trigonométricas

En un triàngul rectàngul, les raones trigonométricas de l'àngul $\alpha$ en vèrtiç en A, són:

El sen: la raó entre el cateto opost i l'hipotenusa,

$\text{sen}(\alpha )=\frac{a}{c}$

El coseno: la raó entre el cateto adjacent i l'hipotenusa,

$\cos (\alpha )=\frac{b}{c}$

La tangente: la raó entre el cateto opost i l'adjacent,

$\tan (\alpha )=\frac{a}{b}$

Àrea

fig. ar1: Relació entre el rectàngul i dos de les tres altures (la dels catetos) d'un triàngul rectàngul.

Es pot considerar l'àrea d'un triàngul rectàngul com la mitat de l'àrea d'un rectàngul partit pel seu diagonal, vore fig. ar1, (o un quadrat si el triàngul rectàngul és ademés isósceles).

(A1) $A=\frac{b\cdot a}{2}$

a on a i b de l'equació (A1) representen les mides dels dos catetos que coincidixen en els dos costats i les corresponents altures del rectàngul (vore fig. ar1).

En tot triàngul rectàngul cada u dels dos catetos és sempre la respectiva altura de l'atre. Assumint que a = cateto1 i b = cateto2 es pot escriure una versió equivalent d'equació (A1) de la següent manera:

$A=\frac{cateto1\cdot cateto2}{2}$

La demostració anterior és solament un cas especial, restringit, d'una molt més general que val per a tot triàngul (no solament per als triànguls rectànguls); I esta és la "proposició I.41 de Euclides, la qual es basa en el concepte més general de paralelogramo i no es restringix al rectàngul. Dita proposició I.41 estén la validea de l'equació (A1) a tot triàngul.

Vore també

• Cateto
• Ceviana
• Euclides
• Euler
• Herón
• Hipotenusa
• Teorema de Apolonio (teorema de la mijana)
• Teorema de l'altura
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Stewart (càlcul de la ceviana)
• Teorema de Tals
• Triangulació
• Triàngul
• Triàngul de Kepler
• Triàngul sagrat egipcíac
• Trigonometria

Notes i referències

Notes

Referències

• Geometria, segona edició, proyecte ingeni.