Propagació d'errors

Archiu:Marcheur-aleatoire.jpg

Cas de Propagació d'incertitut en un objecte tridimensional a causa de la aleatorietat.

En Estadística, la propagació d'incertitut (o propagació d'errors) és l'efecte de variables d'incertitut (o errors) en l'incertitut d'una funció matemàtica basada en ells. Quan les variables són els valors de medicions experimentals tenen incertitut per la medició de llimitacions (per eixemple, instrument de precisió), que es propaguen a la combinació de variables en la funció;

L'incertitut és normalment definida pel error absolut. L'incertitut també pot ser definida pel error relatiu Δx/x, que usualment és escrit com un percentage.

Més comunament, l'error en una cantitat, $\Delta x$, està donat per la desviació estàndar, $\sigma$. La desviació estàndar és la raïl quadrada positiva de la varianza, ${\sigma }^2$. El valor d'una cantitat i el seu error són, a sovint, expressats com $x\pm \Delta x$. Si la distribució de provabilitat estadística de la variable és coneguda o pot ser assumida, és possible derivar l'interval de confiança per a descriure la regió dins de la qual el valor verdader de la variable pot ser trobat. Per eixemple, l'interval de confiança de 68% d'una variable pertanyent a una distribució normal és ± una desviació estàndar del valor, açò és, existix un 68% de provabilitat que el valor verdader es trobe en la regió $x\pm \sigma$. Si les variables estan correlacionadas, llavors la covarianza deu ser presa en conte.

Combinacions llineals

Siga $f_k(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ un conjunt de k funciones que són combinacions llineals de $n$ variables $x_1,x_2,\dots ,x_n$ en coeficients de combinació $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},(k=\mathrm{1..}m)$.

$f_k=\sum _i^n{a}_{ik}{x}_i:𝐟\mathbf{=}{𝐚}^{𝐓}𝐱$

i siga la matriu d'covarianza en x denotada per ${𝐌}^{𝐱}$.

${𝐌}^{𝐱}=\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\text{COV}}_{12}& {\text{COV}}_{13}& \dots \\ {\text{COV}}_{12}& {\sigma }_2^2& {\text{COV}}_{23}& \dots \\ {\text{COV}}_{13}& {\text{COV}}_{23}& {\sigma }_3^2& \dots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

Llavors, la matriu de covarianaza ${𝐌}^f$, de f està donada per

$M_{ij}^f=\sum _k^n\sum _l^n{a}_{ik}{M}_{kl}^x{a}_{lj}:{𝐌}^{𝐟}\mathbf{=}{𝐚}^{𝐓}{𝐌}^{𝐱}𝐚.$

Esta és l'expressió més general per a la propagació de l'error d'un conjunt de variables a un atre. Quan els errors en x no estan correlacionados, l'expressió general se simplifica a

$M_{ij}^f=\sum _k^n{a}_{ik}{\left({\sigma }_k^2\right)}^x{a}_{kj}.$

Observe's que, inclús encara que els errors en x puguen estar no correlacionados, els seus errors en f sempre ho estan. Les expressions generals per a una funció simple, f, són una miqueta més senzilles.

$f=\sum _i^n{a}_i{x}_i:f={𝐚}^{𝐓}𝐱$

${\sigma }_f^2=\sum _i^n\sum _j^n{a}_i{M}_{ij}^x{a}_j={𝐚}^{𝐓}{𝐌}^{𝐱}𝐚$

Cada terme d'covarianza, $M_{ij}$ pot ser expressat en térmens del coeficient de correlació ${\rho }_{ij}$ per $M_{ij}={\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j$, en lo que una expressió alternativa per a la varianza de f és

${\sigma }_f^2=\sum _i^n{a}_i^2{\sigma }_i^2+\sum _i^n\sum _{j(j\ne i)}^n{a}_i{a}_j{\rho }_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j.$

En el cas de que les variables x estiguen no correlacionadas, açò se simplifica més encara a

${\sigma }_f^2=\sum _i^n{a}_i^2{\sigma }_i^2.$

Combinacions no llineals

Quan f és un conjunt d'una combinació no llineal de les variables x, generalment deu ser linealizada per aproximació a una expansió de la série de Taylor de primer orde, encara que en alguns casos poden derivar-se fòrmules exactes que no depenen de l'expansió.

$f_k\approx f_k^0+\sum _i^n\frac{\partial f_k}{\partial x_i}{x}_i$

A on $\frac{\partial f_k}{\partial x_i}$ denota la derivada parcial de f_k sobre la variable i-ésima. ya que f ⁰_k és una constant, no contribuïx a l'error en f. En conseqüència, la propagació de l'error seguix el cas llineal, vist anteriorment, pero reemplaçant els coeficients llineals, a_ik i a_jk per les derivades parcials, $\frac{\partial f_k}{\partial x_i}$ i $\frac{\partial f_k}{\partial x_j}$.

Eixemple

Qualsevol funció no llineal, f(a,b), de dos variables, a i b, pot ser expandida com

$f\approx f^0+\frac{\partial f}{\partial a}a+\frac{\partial f}{\partial b}b$

d'a on es té

${\sigma }_f^2={\left(\frac{\partial f}{\partial a}\right)}^2{\sigma }_a^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial b}\right)}^2{\sigma }_b^2+2\frac{\partial f}{\partial a}\frac{\partial f}{\partial b}CO{V}_{ab}.$

En el cas particular que $f=ab$, $\frac{\partial f}{\partial a}=b,\frac{\partial f}{\partial b}=a$. Llavors

${\sigma }_f^2=b^2{\sigma }_a^2+a^2{\sigma }_b^2+2abCO{V}_{ab}$

o

${\left(\frac{{\sigma }_f}{f}\right)}^2={\left(\frac{{\sigma }_a}{a}\right)}^2+{\left(\frac{{\sigma }_b}{b}\right)}^2+2\left(\frac{{\sigma }_a}{a}\right)\left(\frac{{\sigma }_b}{b}\right){\rho }_{ab}.$

Vore també

• Precisió i exactitut