Problema del moviment de l'iman i del conductor

Un solenoide (cable conductor de color blau) es pot moure sobre la barra imantada (iman de color negre), de la mateixa manera que l'iman es pot moure sobre el solenoide. La teoria de la relativitat especial concilia el resultat d'abdós moviments relatius d'acort en les lleis de Maxwell

El problema del moviment de l'iman i del conductor és un famós experiment mental ideat a finals de el XIX, que aborda l'interacció entre electromagnetisme clàssic i relativitat especial. En ell es calcula la corrent en un conductor elèctric que es mou en velocitat constant v sobre un iman en el sistema de referència inercial de l'iman i en el del conductor. La cantitat observable en l'experiment, la corrent, és la mateixa en abdós casos, d'acort en el principi de relativitat bàsic, que establix que: "Només el moviment relatiu és observable; no existix un estàndart de repòs absolut". No obstant, segons les equacions de Maxwell, les càrregues en el conductor experimenten una força magnètica segons el sistema de referència de l'iman i una força elèctrica segons el sistema de referència del conductor. Un mateix fenomen semblaria tindre dos descripcions diferents segons el marc de referència de l'observador.

Este problema, junt en l'experiment de Fizeau, l'aberració de la llum i, més indirectament, els ensajos negatius sobre l'existència de l'éter (com l'experiment de Michelson i Morley), varen formar la base del desenroll de la teoria de la relativitat per part d'Einstein.

Introducció

L'artícul Einstein de 1905 que va presentar al món la relativitat comença en una descripció del problema iman/conductor:

Un requisit primordial sobre les descripcions en diferents marcs de referència és que siguen consistents. La coherència és un problema, perque la mecànica newtonianiana prediu una transformació (la cridada invarianza galileana) per a les forces que impulsen les càrregues i causen la corrent, mentres que l'electrodinàmica expressada per les equacions de Maxwell prediu que els camps que donen orige a estes forces es transformen de manera diferent (segons l'invariancia de Lorentz). Les observacions de l'aberració de la llum, que varen culminar en l'experiment de Michelson i Morley, varen establir la validea de la invariancia de Lorentz, i el desenroll de la teoria de la relativitat especial va resoldre el desacort resultant en la mecànica newtoniana. La relativitat especial va revisar la transformació de forces en sistemes de referència en moviment per a que fora consistent en la invariancia de Lorentz. Els detalls d'estes transformacions s'analisen a continuació.

Ademés de la coherència, seria bo consolidar les descripcions per a que siguen independents del marc de referència. Una pista per a una descripció independent del marc de referència és l'observació de que els camps magnètics en un marc de referència es convertixen en camps elèctrics en un atre marc. Aixina mateix, la porció solenoidal dels camps elèctrics (la porció que no s'origina per càrregues elèctriques) es convertix en un camp magnètic en un atre marc: és dir, els camps elèctrics solenoidales i els camps magnètics són aspectes de la mateixa cosa. Això significa que la paradoxa de diferents descripcions pot ser sol semàntica. Una descripció que utilisa potencials escalares i vectorials φ i A en lloc de B i I evita la trampa semàntica. Un cuadrivector A^α = (φ / c, A) reemplaça I' i B i proporciona una descripció independent del marc de referència (encara que menys visual que la descripció de I– B). Una unificació alternativa de descripcions és pensar en l'entitat física com en un tensor de camp electromagnètic, tal i com es descriu més alvance. Este tensor conté els camps I i B com a components i té la mateixa forma en tots els marcs de referència.

Antecedents

Els camps electromagnètics no són observables directament. L'existència de camps electromagnètics clàssics es pot inferir del moviment de partícules carregades, les trayectòries de les quals són observables. Els camps electromagnètics expliquen els moviments observats de les partícules carregades en la teoria clàssica.

Un requisit important en la física és que tots els observadors del moviment d'una partícula estiguen d'acort en la trayectòria de la partícula. Per eixemple, si un observador nota que una partícula choca en el centre d'una diana, llavors tots els observadors deuen aplegar a la mateixa conclusió. Este requisit impon llimitacions a la naturalea dels camps electromagnètics i a la seua transformació d'un marc de referència a un atre. També impon restriccions a la manera en que els camps afecten a l'acceleració i, per lo tant, a les trayectòries de les partícules carregades.

Potser l'eixemple més simple, al que Einstein va fer referència en el seu artícul de 1905 en el que va presentar la teoria de la relativitat especial, és el problema d'un conductor que es mou en el camp d'un iman. En el marc de l'iman, el conductor experimenta una força magnètica. En el marc del conductor que es mou sobre l'iman, el conductor experimenta una força deguda a un camp elèctric. El camp magnètic en el marc magnètic i el camp elèctric en el marc del conductor deuen generar resultats consistents en el conductor. En l'época d'Einstein, en 1905, les equacions de camp representades per les equacions de Maxwell eren adequadament consistents. No obstant, la llei del moviment de Newton va tindre que modificar-se per a obtindre trayectòries de les partícules consistents.

Transformació de camps, assumint transformacions galileanas

Impuls de Lorentz d'una càrrega elèctrica.

Dalt: La càrrega està en repòs en el marc de referència F, per lo que este observador veu un camp elèctric estàtic. Un observador en un atre marque F′ es mou en velocitat v relativa a F, i veu que la càrrega es mou en velocitat −v en un camp elèctric alterat I per la contracció de la llongitut i un camp magnètic B pel moviment de la càrrega.

Avall: Configuració similar, en la càrrega en repòs en el marc de referència F′.

Suponent que el marc de referència de l'iman i el marc de referència del conductor estan relacionades entre sí per una transformació de Galileo, és senzill calcular els camps i les forces en abdós. Açò demostrarà que la corrent induïda és la mateixa en abdós casos. Com a resultat adicional, este argument també permet obtindre una fòrmula general per als camps elèctrics i magnètics en un sistema de referència en térmens dels camps en l'atre sistema de referència.

En realitat, els marcs de referència no estan relacionats per una transformació galileana, sino per una transformació de Lorentz. No obstant, serà una transformació galileana en una molt bona aproximació, a velocitats molt menors que la de la llum.

Les magnituts no marcades en un apóstrofe corresponen al marc de l'iman en repòs, mentres que les cantitats en apóstrofe corresponen al marc del conductor en repòs. Siga v la velocitat del conductor, vist des del marc de referència de l'iman.

Marque de referència de l'iman

En el marc de l'iman en repòs , el camp magnètic és un camp fix B(r), determinat per l'estructura i forma de l'iman. El camp elèctric és zero.

En general, la força eixercida sobre una partícula de càrrega q en el conductor pel camp elèctric i el camp magnètic ve donada per (unitats en el sistema internacional):

$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁),$

a on $q$ és la càrrega de la partícula, $𝐯$ és la velocitat de la partícula i F és la força de Lorentz. Ací, no obstant, el camp elèctric és zero, per lo que la força sobre la partícula és

$𝐅=q𝐯\times 𝐁.$

Marque de referència del conductor

En el marc del conductor existix un camp magnètic variable en el temps B′ relacionat en el camp magnètic B en el marc de referència de l'iman segons l'expressió:

${𝐁}^{\prime }({𝐫}^{\prime },t^{\prime })=𝐁({𝐫}_{{𝐭}^{\prime }})$ a on ${𝐫}_{{𝐭}^{\prime }}={𝐫}^{\prime }+𝐯t^{\prime }$

En este marc, hi ha un camp elèctric i la seua curvatura està donada per l'equació de Maxwell-Faraday:

$\mathrm{\nabla }\times {𝐄}^{\prime }=-\frac{\partial {𝐁}^{\prime }}{\partial t^{\prime }}.$

Açò produïx:

${𝐄}^{\prime }=𝐯\times 𝐁.$

Açò és degut a que si un conductor es mou a través d'un camp B en un gradient $\partial B_z/\partial z$, en l'eix z en velocitat constant $v_z=\partial z/\partial t$, es deduïx que en el marc del conductor :$\frac{\partial B{\text{'}}_z}{\partial t}=v_z\frac{\partial B_z}{\partial z}=-(\mathrm{\nabla }\times {𝐄}^{\prime }{)}_z=\frac{\partial E{\text{'}}_x}{\partial y}-\frac{\partial E{\text{'}}_y}{\partial x}.$ Es pot vore que esta equació és consistent en ${𝐄}^{\prime }=𝐯\times 𝐁=v_z{B}_x\hat{y}-v_z{B}_y\hat{x},$ determinant $\partial E{\text{'}}_x/\partial y$ i $\partial {E_y}^{\prime }/\partial x$ a partir d'esta expressió i substituint-la en la primera expressió mentres s'usa $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0.$ Inclús en el llímit de gradient menuts infinitesimals $\partial B_z/\partial z$ estes relacions es mantenen i, per lo tant, l'equació de la força de Lorentz també és vàlida si el camp magnètic en el marc del conductor no varia en el temps. A velocitats relativistes es necessita un factor de correcció (consulte's electromagnetisme clàssic i relativitat especial i la transformació de Lorentz). Plantilla:Hidden end

Una carrega q en el conductor estarà en repòs respecte al marc de referència del conductor. Per lo tant, el terme de força magnètica de la força de Lorentz no té cap efecte i la força sobre la càrrega ve donada per

${𝐅}^{\prime }=q{𝐄}^{\prime }=q𝐯\times 𝐁.$

Açò demostra que la força és la mateixa en abdós sistemes de referència (com seria d'esperar) i, per lo tant, qualsevol conseqüència observable d'esta força, com la corrent induïda, també seria la mateixa en abdós sistemes, a pesar de que es considera que la força és una força elèctrica en el marc de referència del conductor i una força magnètica en el de l'iman.

Fòrmula de transformació galileana per a camps

Es pot presentar un argument similar si el marc de referència de l'iman també conté camps elèctrics (la llei de Ampère també entra en joc, explicant cóm, en el marc del conductor, este camp elèctric en moviment contribuirà a generar un camp magnètic). El resultat és que, en general,

$\begin{array}{cc}{𝐄}^{\prime }& =𝐄+𝐯\times 𝐁\\ {𝐁}^{\prime }& =𝐁-\frac{1}{c^2}𝐯\times 𝐄,\end{array}$

sent c la velocitat de la llum en el buit.

En conectar estes regles de transformació en les equacions de Maxwell completes, es pot vore que si les equacions de Maxwell són verdaderes en un marc de referència, llavors són casi verdaderes en l'atre, pero contenen térmens incorrectes segons la transformació de Lorentz, i les equacions de transformació de camp també deuen canviar-se, d'acort en les expressions que es donen a continuació.

Transformació de camps segons lo predit per les equacions de Maxwell

Vore també: electromagnetisme clàssic i relativitat especial

Una partícula carregada, en repòs en el buit, genera un camp elèctric isotrópico, idèntic en totes les direccions de l'espai

Per una atra part, el seu moviment trenca esta simetria, per efectes relativistes: esta deformació està en l'orige del camp magnètic

En un marc de referència que es mou a velocitat v, el camp I en el marc en moviment quan no hi ha cap camp I en el marc de l'iman estacionario, les equacions de Maxwell prenen la forma:

${𝐄}^{\prime }=\gamma 𝐯\times 𝐁$

a on

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{(v/c)}^2}}$

es diu Factor de Lorentz i c és la velocitat de la llum en el buit. Este resultat és una conseqüència de requerir que els observadors en tots els sistema de referència inercial apleguen a la mateixa forma per a les equacions de Maxwell. En particular, tots els observadors deuen vore la mateixa velocitat de la llum c. Eixe requisit conduïx a la transformació de Lorentz per a l'espai i el temps. Suponent una transformació de Lorentz, la invariancia de les equacions de Maxwell conduïx a l'anterior transformació dels camps per a este eixemple.

En conseqüència, la força sobre la càrrega és

${𝐅}^{\prime }=q{𝐄}^{\prime }=q\gamma 𝐯\times 𝐁.$

Esta expressió diferix de l'expressió obtinguda de la llei del moviment de Newton no relativiste per un factor de $\gamma$. La relativitat especial modifica l'espai i el temps de tal manera que les forces i els camps es transformen consistentement.

Modificació de la dinàmica per a mantindre la coherència en les equacions de Maxwell

Archiu:Moving magnet. caps block 12

Figura 1: Agrane conductora vista des de dos marcs de referència inerciales. En un marc, la barra es mou en velocitat v; en el marc marcat en apóstrofe la barra permaneix estacionaria perque el marc es mou a la mateixa velocitat que la barra. El camp B varia segons la posició en la direcció x

La força de Lorentz té la mateixa forma en abdós marcs, encara que els camps diferixen, a saber:

$𝐅=q[𝐄+𝐯\times 𝐁].$

D'acort en la Figura 1, per a simplificar, considere's que el camp magnètic apunt en la direcció z i varie en l'ubicació x, i que el conductor es trasllade en la direcció x positiva en velocitat v. En conseqüència, en el marc de referència de l'iman a on es mou el conductor, la força de Lorentz apunta en la direcció i negativa, perpendicular tant a la velocitat com al camp B. La força sobre una càrrega, ací deguda solament al camp B, és

$F_y=-qvB,$

mentres que en el sistema de referència del conductor a on es mou l'iman, la força també està en la direcció i negativa, i ara es deu solament al camp 'I en un valor:

$F_y\text{'}=q{E}^{\prime }=-q\gamma vB.$

Les dos forces es diferencien pel factor de Lorentz γ. No obstant, esta diferència és esperable en una teoria relativista pel canvi en l'espai-temps entre sistemes de referència inerciales, com s'analisa a continuació.

La relativitat pren la transformació de Lorentz de l'espai-temps sugerida per la invariancia de les equacions de Maxwell i l'impon també a la dinàmica (per mig d'una revisió de les lleis de Newton). En este eixemple, la transformació de Lorentz afecta solament a la direcció x (el moviment relatiu dels dos marcs de referència és en la direcció x). Les relacions que conecten el temps i l'espai són (les unitats en apóstrofe denoten el marc del conductor en moviment):

$\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& =\gamma (x-vt),& x& =\gamma (x^{\prime }+v{t}^{\prime }),\\ t^{\prime }& =\gamma (t-\frac{vx}{c^2}),& t& =\gamma (t^{\prime }+\frac{v{x}^{\prime }}{c^2}).\end{array}$

Estes transformacions conduïxen a un canvi en la component i de la força:

$F_y\text{'}=\gamma F_y.$

És dir, dins de l'invariancia de Lorentz, la força no és la mateixa en tots els marcs de referència, a diferència de lo que succeïx en la invariancia galileana. Pero, de l'anàlisis anterior basat en la llei de forces de Lorentz:

$\gamma F_y=-q\gamma vB,{F_y}^{\prime }=-q\gamma vB,$

lo que està completament d'acort. Llavors, la força sobre la càrrega no és la mateixa en abdós marcs de referència, pero es transforma com s'esperava segons la relativitat.

Llectures adicionals

• Einstein, A. (1916). Relativity: The Special and General Theory, New York: Crown. ISBN 0-517-02961-8.
• (2006) Les Conferències Feynman sobre Física (vol. 2), Pearson/Addison-Wesley, pp. 13–6 Chapter 13. ISBN 0-8053-9045-6. (La relativitat dels camps magnètics i elèctrics)
• (1973) Gravitation, San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.
• (1975) Classical Theory of Fields, Fourth Revised English edició, Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7.
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.), Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• C Møller (1976). The Theory of Relativity, Second edició, Oxford UK: Oxford University Press. OCLC 220221617. ISBN 0-19-560539-X.