Principi d'explosió

El principi d'explosió és un principi de la llògica clàssica i d'alguns atres sistemes llògics (per eixemple, la llògica intuicionista) segons el qual d'una proposició contradictòria es pot deduir qualsevol atra proposició. Al principi d'explosió també se li coneix per mig de les locucions llatines ex fals quodlibet i ex contradictione (sequitur) quodlibet, que signifiquen «de lo fals (se seguix) qualsevol cosa» i «d'una contradicció (se seguix) qualsevol cosa», respectivament.^[1] En base en el principi d'explosió, tot és demostradora quan es té una contradicció; açò es coneix com a explosió deductiva.^[2]^[3]

La primera prova d'este principi va ser oferida en el XII pel filòsof francés Guillaume de Soissons.^[4] Pel principi d'explosió, la presència d'una contradicció (inconsistencia) en qualsevol sistema formal axiomàtic és desastrosa, puix implica que qualsevol premissa pot ser demostrada, trivializando els conceptes de veres i falsetat.^[5] El principi d'explosió va adquirir particular rellevància a principis de el XX, en el descobriment de diverses contradiccions com la Paradoxa de Russell en els fonaments de les matemàtiques que amenaçaven tota l'estructura formal de les matemàtiques. Matemàtics com Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem varen treballar per a revisar la teoria de conjunts i eliminar dites contradiccions, lo que va resultar en la moderna teoria de Zermelo-Frenkel.

Funcionament del principi d'explosió

Com a eixemple del principi, consideren-se dos afirmacions contradictòries: "Tots els llimes són grocs" i "No totes les llimes són grocs". Suponga's que abdós afirmacions són verdaderes. Si eixe és el cas, es pot demostrar qualsevol cosa, per eixemple, l'afirmació de que "els unicorns existixen", utilisant el següent argument:

Sabem que "No totes les llimes són grocs", ya que s'ha assumit que és cert.
Sabem que "Totes les llimes són grocs", ya que s'ha assumit que és cert.
Per lo tant, l'enunciat de dos parts "Totes les llimes són grocs O els unicorns existixen" també deu ser verdader, ya que la primera part "Totes les llimes són grocs" de l'enunciat és verdadera (ya que s'ha supost).
No obstant, com sabem que "No totes les llimes són grocs" (com s'ha supost), la primera part és falsa, i per lo tant la segona part deu ser verdadera per a que l'enunciat de dos parts siga verdader, és dir, els unicorns existixen.

El principi d'explosió es pot expressar formalment com:

\frac{A \land \neg A}{B}

O en la notació del càlcul de secuentes:

A \land \neg A ⊢ B

a on A i B són metavariables que poden ser reemplaçades per qualsevol proposició o fòrmula.

Les conseqüències òbviament indesijables del principi d'explosió són una forta raó per a voler evitar els sistemes llògics i formals inconsistentes. En una solució alternativa a estos problemes, alguns llògics han ideat teories alternatives de la llògica cridada llògica paraconsistente, que eliminen el principi d'explosió en admetre la possibilitat de contradiccions verdaderes.^[5] Estes permeten demostrar algunes afirmacions contradictòries sense afectar a unes atres.^[5]

Demostració

El principi d'explosió no és en realitat un principi, sino una regla derivada, és dir que es pot demostrar a partir de les regles bàsiques de la llògica proposicional.

A demostrar: $A \land \neg A ⊢ B$
Pas	Fòrmula	Raó
1	$A \land \neg A$	Supòsit.
2	$A$	Des de (1) per eliminació de la conjunció.
3	$A \lor B$	Des de (2) per introducció de la disjunció.
4	$\neg A$	Des de (1) per eliminació de la conjunció.
5	$B$	Des de (3) i (4) per silogisme disyuntivo. QED

Vore també

Referències

↑ Carnielli, Walter, and João Marcos. [2000] 2001. "Ex contradictione senar sequitur quodlibet (PDF)". Bulletin of Advanced Reasoning and Knowledge 1:89–109.
↑ “Some topological properties of paraconsistent models” . Synthese 190 (18). doi:10.1007/s11229-013-0246-8.
↑ (2016) Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation (vol. 40), Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN 978-3-319-33203-1.
↑ Priest, Graham. 2011. "What's baix bad about contradictions?" In The Law of Senar-Contradicton, edited by Priest, Beal, and Armour-Garb. Oxford: Clarendon Press. p. 25.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 McKubre-Jordens, Maarten. «This is not a carrot: Paraconsistent mathematics». Plus Magazine. Millennium Mathematics Project.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Principio de explosión» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Carnielli, Walter, and João Marcos. [2000] 2001. "Ex contradictione senar sequitur quodlibet (PDF)". Bulletin of Advanced Reasoning and Knowledge 1:89–109.

[2] “Some topological properties of paraconsistent models” . Synthese 190 (18). doi:10.1007/s11229-013-0246-8.

[3] (2016) Paraconsistent Logic: Consistency, Contradiction and Negation (vol. 40), Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-319-33205-5. ISBN 978-3-319-33203-1.

[4] Priest, Graham. 2011. "What's baix bad about contradictions?" In The Law of Senar-Contradicton, edited by Priest, Beal, and Armour-Garb. Oxford: Clarendon Press. p. 25.

[McKubre-Jordens-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 McKubre-Jordens, Maarten. «This is not a carrot: Paraconsistent mathematics». Plus Magazine. Millennium Mathematics Project.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]