Media circular

En matemàtiques i estadística, una mija circular (o també mija angular) és un promig concebut per a ser aplicat en ànguls i cantitats cíclicas similars, com les hores del dia i la part fraccionaria dels número real.

El seu us es justifica tenint en conte que la majoria de les miges habituals poden no ser adequades per a cantitats en forma d'àngul. Per eixemple, la mija aritmètica de 0° i 360° és 180°, la qual cosa és enganyós perque 360° equival a 0° si es considera el mòdul d'un cicle complet. Un atre eixemple és la "hora promig" entre les 11 p. m. i la 1 a. m., que pot ser mijanit o migdia, depenent de si les dos hores són part d'una sola nit o d'un sol dia del calendari.

La mija circular és un dels eixemples més simples d'estadístiques direccionals i d'estadístiques en espais no euclídeos. Este càlcul produïx un resultat diferent al de la mija aritmètica, sent la diferència major quan els ànguls estan àmpliament distribuïts. Per eixemple, la mija aritmètica dels tres ànguls 0°, 0° i 90° és (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°, pero la mija vectorial (l'àngul del vector resultant de sumar tres vectores unitaris, un de vertical i els atres dos horisontals) és arctan(1/2) = 26,565°. Ademés, en la mija aritmètica la varianza circular solament es definix en ±180°.

Definició

Ya que la mija aritmètica no sempre és apropiada per als ànguls, es pot utilisar el següent método per a obtindre tant el valor mig com la mida de la varianza dels ànguls:

Convertixquen-se tots els ànguls als punts corresponents de la circumferència goniométrica, per eixemple, $\alpha$ a $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$. És dir, convertir les coordenades polars a coordenades cartesianas. Després, calcular la mija aritmètica d'estos punts. El punt resultant estarà dins del disc unitat, pero generalment no quedarà sobre la círcunferencia unitària. Per últim, convertir eixe punt novament a coordenades polars. L'àngul és una mija raonable dels ànguls d'entrada. El radi resultant serà 1 si tots els ànguls són iguals. Si els ànguls estan distribuïts uniformemente en la circumferència, llavors el radi resultant serà 0, i no existix una mija circular (de fet, és impossible definir una operació mija contínua en el círcul). En atres paraules, el radi medix la concentració dels ànguls.

Donats els ànguls ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$, una fòrmula comuna per a obtindre la mija és una variant basada en la funció trigonométrica inversa arcotangente de dos paràmetros:

$\overline{\alpha }=\mathrm{atan2}(\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\sin {\alpha }_j,\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\cos {\alpha }_j)=\mathrm{atan2}(\sum _{j=1}^n\sin {\alpha }_j,\sum _{j=1}^n\cos {\alpha }_j)$

Usant aritmètica complexa

Es pot formular una definició equivalent utilisant número complejo:

$\overline{\alpha }=\arg (\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\exp (i\cdot {\alpha }_j))=\arg (\sum _{j=1}^n\exp (i\cdot {\alpha }_j))$.

Per a fer coincidir la fòrmula anterior en la que utilisa la mija aritmètica dels punts, les sumes tindrien que dividir-se per $n$. No obstant, l'escala no influïx en el resultat de les funcions $\mathrm{atan2}$ i $\arg$, per lo que es pot ometre.

Açò pot expressar-se de manera més sucinta en donar-se conte de que les senyes direccionals són, de fet, vectores de llongitut unitària. En el cas de senyes unidimensionals, estos punts de senyes es poden representar convenientment com a número complejo de magnitut unitària $z=\cos (\theta )+i\sin (\theta )=e^{i\theta }$, a on $\theta$ és l'àngul medit. El vector resultant mig per a la mostra és llavors:

$\overline{𝝆}=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{z}_n.$

L'àngul mig mostral és llavors l'argument del vector resultant mig:

$\bar{\theta }=\mathrm{Arg}(\overline{𝝆}).$

La llongitut del vector resultant mig mostral és:

$\bar{R}=|\overline{𝝆}|$

i tindrà un valor entre 0 i 1. Per lo tant, el vector resultant mig de la mostra es pot representar com:

$\overline{𝝆}=\bar{R}{e}^{i\bar{\theta }}.$

També s'utilisen càlculs similars per a definir la varianza circular.

Propietats

La mija circular, $\overline{\alpha }$

• Maximizar la funció de verosimilitut del paràmetro mig de la distribució de von Mises i
• Minimisa la suma d'una certa distància en el círcul, més precisament

$\overline{\alpha }=\underset{\beta }{\mathrm{argmin}}\sum _{j=1}^{n}d({\alpha }_j,\beta ),\text{where }d(\phi ,\beta )=1-\cos (\phi -\beta ).$

La distància $d(\phi ,\beta )$ és igual a la mitat de la distància euclidiana al quadrat entre els dos punts de la circumferència unitària associada en $\phi$ i $\beta$.

Vore també

• Centre de masses
• Centroide
• Distribució circular
• Desviació estàndar circular
• Estadístiques direccionals
• Mija de Fréchet