Matemàtiques inverses

Les matemàtiques inverses constituïxen un programa d'investigació de la llògica matemàtica que tracta de determinar qué axioma són necessaris per a demostrar teoremes matemàtiques. El seu modus operandi pot descriure's breument com "anar cap a arrere des dels teoremess fins als axiomas", en contrast en la pràctica matemàtica ordinària de derivar teoremes a partir de axioma. Pot conceptualizarse com determinar les condicions condicions necessàries a partir de les condicions suficients.

El programa de matemàtiques inverses va ser prefigurado per resultats en teoria de conjunts com la teorema clàssica de que l'axioma d'elecció i el lema de Zorn són equivalents sobre teoria de conjunts ZF. L'objectiu de la matemàtiques inverses, no obstant, és estudiar els possibles conjunts de axioma per a les teoremes ordinàries de la matemàtica, en lloc de possibles axioma per a la teoria de conjunts.

La matemàtiques inverses emplena diversos subsistema d'aritmètica de segon orde,^[1] a on moltes de les seues definicions i métodos s'inspiren en treballs previs en anàlisis constructiu i teoria de la demostració. L'us de l'aritmètica de segon orde també permet amprar moltes tècniques de la teoria de la recursión; molts resultats de les matemàtiques inverses tenen resultats corresponents en l'anàlisis computable. En les matemàtiques inverses de orde superior, l'atenció se centra en subsistema d'aritmètica d'orde superior, i el llenguage més ric associat.

El programa va ser fundat per Harvey Friedman^[2] i presentat per Steve Simpson. Una referència estàndar per al tema és Simpson (2009), mentres que una introducció per a no especialistes és Stillwell (2018). Una introducció a les matemàtiques inverses d'orde superior, i també l'artícul fundador, és Kohlenbach (2005).

Principis generals

En les matemàtiques inverses, es comença en un llenguage marque i una teoria base -un sistema de axioma central- que és massa dèbil per a demostrar la majoria de les teoremes en els que un podria estar interessat, pero lo suficientment potent com per a desenrollar les definicions necessàries per a enunciar estes teoremes. Per eixemple, per a estudiar la teorema "Tota successió acotada de número real té un suprem" és necessari utilisar un sistema base que puga parlar d'número real i seqüències d'número real.

Per a cada teorema que puga ser enunciat en el sistema base pero que no siga demostrador en el sistema base, l'objectiu és determinar el sistema de axioma particular (més fort que el sistema base) que és necessari per a demostrar eixa teorema. Per a demostrar que un sistema S és necessari per a demostrar una teorema T, es necessiten dos proves. La primera prova demostra que T és demostradora a partir de S; es tracta d'una prova matemàtica ordinària junt en una justificació de que pot portar-se a terme en el sistema S. La segona prova, coneguda com a inversió, mostra que T implica per sí mateixa a S; esta prova es porta a terme en el sistema base.^[1] L'inversió establix que cap sistema de axioma S′ que estenga el sistema base pot ser més dèbil que S sense deixar de demostrar T.

Us de l'aritmètica de segon orde

La major part de l'investigació en matemàtiques inverses se centra en subsistema d'aritmètica de segon orde. El cos d'investigació en matemàtiques inverses ha establit que subsistema dèbils d'aritmètica de segon orde són suficients per a formalisar casi totes les matemàtiques de nivell universitari. En l'aritmètica de segon orde, tots els objectes poden representar-se com número natural o conjunts d'número natural. Per eixemple, per a demostrar teoremes sobre els número real, estos poden representar-se com successions de Cauchy de número racional, cada una de les quals pot representar-se com un conjunt d'número natural.

Els sistemes de axioma més freqüentment considerats en les matemàtiques inverses es definixen utilisant esquemes axiomàtics cridats esquemes de comprensió. Un esquema d'este tipo afirma que existix qualsevol conjunt d'número natural definible per una fòrmula d'una complexitat donada. En este context, la complexitat de les fòrmules es medix utilisant la jerarquia aritmètica i la jerarquia analítica.

La raó per la que les matemàtiques inverses no es porten a terme utilisant la teoria de conjunts com a sistema base és que el llenguage de la teoria de conjunts és massa expressiu. Conjunts extremadament complexos d'número natural poden definir-se per mig de fòrmules senzilles en el llenguage de la teoria de conjunts (que pot quantificar sobre conjunts arbitraris). En el context de l'aritmètica de segon orde, resultats com el teorema de Post establixen un estret víncul entre la complexitat d'una fòrmula i la (no)computabilidad del conjunt que definix.

Un atre efecte de l'us de l'aritmètica de segon orde és la necessitat de restringir les teoremes matemàtiques generals a formes que poden expressar-se dins de l'aritmètica. Per eixemple, l'aritmètica de segon orde pot expressar el principi "Tot espai vectorial contable té una base", pero no pot expressar el principi "Tot espai vectorial té una base". En térmens pràctics, açò significa que les teoremes d'àlgebra i combinatòria estan restringits a estructures numerables, mentres que les teoremes d'anàlisis i topología estan restringits a espais separables. Molts principis que impliquen l'axioma d'elecció en la seua forma general (com "Tot espai vectorial té una base") es tornen demostradors en subsistema dèbils d'aritmètica de segon orde quan estan restringits. Per eixemple, "cada cos té una clausura algebraica" no és demostrador en la teoria de conjunts ZF, pero la forma restringida "cada cos contable té una clausura algebraica" és demostrador en RCA₀, el sistema més dèbil típicament amprat en matemàtiques inverses.

Us d'aritmètica d'orde superior

Una llínea recent d'investigació matemàtica inversa de "orde superior", iniciada per Ulrich Kohlenbach en 2005, se centra en subsistema d'aritmètica d'orde superior.Plantilla:Sfnp

Pel llenguage més ric de l'aritmètica d'orde superior, l'us de representacions (també conegudes com a 'còdics') comuns en l'aritmètica de segon orde, es reduïx considerablement.

Per eixemple, una funció contínua en l'espai de Cantor és solament una funció que mapea seqüències binarias a seqüències binarias, i que també satisfà la definició habitual de continuïtat 'épsilon-delta'.

Les matemàtiques inverses d'orde superior inclouen versions d'orde superior d'esquemes de comprensió (de segon orde). Tal axioma d'orde superior establix l'existència d'un funcional que decidix la veritat o falsetat de fòrmules d'una complexitat donada. En este context, la complexitat de les fòrmules també es medix utilisant la jerarquia aritmètica i jerarquia analítica. Les contrapartes d'orde superior dels principals subsistema d'aritmètica de segon orde generalment proven les mateixes oracions de segon orde (o un subconjunt gran) que els sistemes originals de segon orde.^[3] Per eixemple, la teoria bàsica de les matemàtiques inverses d'orde superior, cridada $RCA Plantilla:La seua$ , prova les mateixes oracions que RCA₀, fins al llenguage.

Com es va senyalar en el paràgraf anterior, els axioma de comprensió de segon orde es generalisen fàcilment al marc d'orde superior. No obstant, les teoremes que expressen la compacidad dels espais bàsics es comporten de manera molt diferent en l'aritmètica de segon i superior orde: per un costat, quan es restringix a cobertes contables / el llenguage de l'aritmètica de segon orde, la compacidad de l'interval unitari és demostrador en WKL₀ de la següent secció. Per un atre costat, donades les incontables cobertura / el llenguage de l'aritmètica d'orde superior, la compacidad de l'interval unitari solament és demostrador a partir de l'aritmètica de segon orde (completa).Plantilla:Sfnp Atres lemes de cobertura (per eixemple, per Lindelöf, Vitali, Besicovitch, etc.) exhibixen el mateix comportament, i moltes propietats bàsiques de l'integral de gauge són equivalents a la compacidad de l'espai subjacent.

Els cinc grans subsistema de l'aritmètica de segon orde

l'aritmètica de segon orde és una teoria formal dels número natural i dels conjunts d'número natural. Molts objectes matemàtics, com numerable anells, grups, i cossos, aixina com punts en espais polacs efectius, poden representar-se com a conjunts d'número natural, i mòdul a esta representació pot estudiar-se en aritmètica de segon orde.

Les matemàtiques inverses fan us de varis subsistema de l'aritmètica de segon orde. Una teorema típica de la matemàtica inversa mostra que una teorema matemàtica particular T és equivalent a un subsistema particular S de l'aritmètica de segon orde sobre un subsistema més dèbil B. Este sistema B més dèbil es coneix com a sistema base per al resultat; per a que el resultat matemàtic invers tinga

significat, este sistema no deu ser capaç de demostrar la teorema matemàtica T.

Simpson (2009) descriu cinc subsistema particulars de l'aritmètica de segon orde, que ell crida els cinc grans, que apareixen freqüentment en matemàtiques inverses. En orde creixent de fortalea, estos sistemes es denominen per les inicials RCA₀, WKL₀, ACA₀, ATR₀ i ΠPlantilla:La seua-CA₀. La següent table resumix els "cinc grans" sistemes i llista les contrapartides en l'aritmètica d'orde superior.^[3] Estos últims, en general, demostren el mateix conjunt de teoremes que els sistemes de segon orde (o un subconjunt gran del mateix).^[3]

Subsistema	Es referix a ![[Número ordinal (teoria de conjunts)\|Ordinal]]	Correspon més o menys a !Comentari	Contraparte d'orde superior
RCA₀	Recursive comprehension axiom	ω^ω	Matemàtiques constructives (Bishop)	Punt de partida	RCA $Plantilla:La seua$ ; demostra les mateixes proposicions que RCA₀
WKL₀	Weak Kőnig's lemma	ω^ω	Reduccionismo finitista (Hilbert)	Extensió conservadora sobre l'ARP (resp. RCA₀) per a proposicions $Π Plantilla:La seua$ (resp. $Π Plantilla:La seua$ )	Computa el mòdul de continuïtat uniforme sobre $2^{ℕ}$ per a funcions contínues
ACA₀	Arithmetical comprehension axiom	ε₀	Predicativisme (Weyl, Feferman)	Extensió conservdora sobre la artimética de Peano per a proposicions aritmètiques	El 'bot de Turing' funcional $\exists^{2}$ expressa l'existència d'una funció discontínua sobre $ℝ$
ATR₀	Arithmetical transfinite recursion	Γ₀	Reduccionismo predicativo(Friedman, Simpson)	Extensió conservadora del sistema de Feferman IR per a proposicions $Π Plantilla:La seua$ .	El funcional de recursión transfrinita produïx el conjunt l'existència del qual afirma ATR₀.
ΠPlantilla:La seua-CA₀	ΠPlantilla:La seua comprehension axiom	Ψ₀(Ω_ω)	Impredicativismo		El funcional de Suslin $S^{2}$ decidix $Π Plantilla:La seua$ -fòrmules (restringides a paràmetros de segon orde).

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 Simpson, Stephen G. (2009), Subsystems of second-order arithmetic, Perspectives in Logic (2nd ed. ), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511581007, ISBN 978-0-521-88439-6, MR 2517689
↑ H. Friedman, Some systems of second-order arithmetic and their use (1974), Proceedings of the International Congress of Mathematicians
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Vore Kohlenbach (2005) i Hunter (2008).

Bibliografia

(1975).«Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 1».Canad. Math. Congress, Montreal, Que..

235–242.

(1976).«Systems of second-order arithmetic with restricted induction, I, II».The Journal of Symbolic Logic.41(2)

557–559.doi:10.2307/2272259.

(2014).«Slicing the Truth».World Scientific.28
(2008).«Reverse Topology».University of Wisconsin–Madison.
(2005).«Higher Order Reverse Mathematics, Reverse Mathematics 2001».Cambridge University Press.

281–295.doi:10.1017/9781316755846.018.

(2018).«On the mathematical and foundational significance of the uncountable».Journal of Mathematical Logic.19

1950001.doi:10.1142/S0219061319500016.

(2009).«Subsystems of second-order arithmetic».Cambridge University Press.doi:10.1017/CBO9780511581007.Consultat el 9 de decembre de 2022.

(2018).«Reverse Mathematics, proofs from the inside out».Princeton University Press.
(1999).«Ordered groups: a case study in reverse mathematics».The Bulletin of Symbolic Logic.5(1)

45–58.ISSN 1079-8986.doi:10.2307/421140.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Matemáticas inversas» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Simpson2009-1] 1,0 ^1,1 Simpson, Stephen G. (2009), Subsystems of second-order arithmetic, Perspectives in Logic (2nd ed. ), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511581007, ISBN 978-0-521-88439-6, MR 2517689

[2] H. Friedman, Some systems of second-order arithmetic and their use (1974), Proceedings of the International Congress of Mathematicians

[k05h08-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Vore Kohlenbach (2005) i Hunter (2008).

[1]

[2]

[3]