Jerarquia analítica

En llògica matemàtica i teoria descriptiva de conjunts, la jerarquia analítica és un anàlec d'alt nivell de la jerarquia aritmètica. Per lo tant constituïx la classificació dels conjunts per mig de les fòrmules que els definixen.

La jerarquia analítica és important en teoria de la demostració i aritmètica de segon orde, entre atres camps.

La jerarquia analítica de les fòrmules

La notació ${\Sigma }_0^1={\Pi }_0^1={\Delta }_0^1$ indica la classe de fòrmules en el llenguage d'aritmètica de segon orde sense conjunt de quantificadors. Este llenguage no conté paràmetros de conjunt. Les lletres gregues ací són símbols, que indiquen esta elecció de llenguage. Cada símbol en negreta representa la classe corresponent de fòrmules en el llenguage estés en un paràmetro per a cada real; vore jerarquia proyectiva para més detalls.

Una fòrmula en el llenguage d'aritmètica de segon orde es definix per mig de ${\Sigma }_{n+1}^1$ si és llògicament equivalent a una fòrmula del tipo $\mathrm{\exists }{X}_1\cdots \mathrm{\exists }{X}_k\psi$ a on $\psi$ és ${\Pi }_n^1$. Es definix una fòrmula ${\Pi }_{n+1}^1$ si és llògicament equivalent a una fòrmula de la forma $\mathrm{\forall }{X}_1\cdots \mathrm{\forall }{X}_k\psi$ a on $\psi$ és ${\Sigma }_n^1$. Esta definició inductiva definix les classes ${\Sigma }_n^1$ i ${\Pi }_n^1$ per a cada número natural $n$.

Com cada fòrmula té una forma normal prenexa, cada fòrmula en el llenguage de l'aritmètica de segon orde és ${\Sigma }_n^1$ o ${\Pi }_n^1$ per a algun $n$. Com es poden agregar quantificadors sense sentit a qualsevol fòrmula, una volta que una fòrmula rep la classificació ${\Sigma }_n^1$ o ${\Pi }_n^1$ per a algun $n$ se li assignaran les classificacions ${\Sigma }_m^1$ i ${\Pi }_m^1$ para tot $m$ major que $n$.

Note's que molt rara volta té sentit referir-se a la fòrmula ${\Delta }_n^1$ ; el primer quantificador d'una fòrmula és o ben existencial o universal.

La jerarquia analítica de séries d'número natural

Una série de números és assignat a la classificació ${\Sigma }_n^1$ si es pot definir per la fòrmula ${\Sigma }_n^1$. Al conjunt se li assigna la classificació ${\Pi }_n^1$ si es pot definir per la fòrmula ${\Pi }_n^1$. Si el conjunt és al mateix temps ${\Sigma }_n^1$ i ${\Pi }_n^1$ se li donarà la classificació adicional ${\Delta }_n^1$.

Referències

Bibliografia

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive, Graduate Texts in Mathematics 156 edició, Springer.