Anàlisis computable

El anàlisis computable és una branca interdisciplinària de les matemàtiques i les ciències de la computació que estudia els fonaments algorítmics de l'anàlisis matemàtic. El seu objectiu principal és determinar qué objectes i operacions en anàlisis real i funcional poden ser definits o aproximats per mig de procediments computacionals efectius.

Història

El camp es va desenrollar formalment en el XX, en contribucions clau d'Alan Turing, qui va establir les bases de la computabilidad per mig del seu model de Màquina de Turing. En la década de 1980, autors com Marian Pour-L'i J. Ian Richards varen demostrar resultats fonamentals, com l'existència de funcions diferenciables no computables. La formalisació moderna utilisa Màquines de Turing tipo 2, dissenyades per a processar seqüències infinites de símbols.

Conceptes clau

Representació d'número real

A diferència de les representacions decimals estàndart, l'anàlisis computable ampra sistemes com els dígits en signe (proposts per Luitzen Brouwer), a on un número s'expressa en base 2 usant -1, 0 i 1. Açò evita problemes com el "dilema del tabulador" en operacions de grosseig.

Funcions computables

Una funció real es considera computable si existix un algoritme que, donada una aproximació racional de l'entrada, produïx una aproximació racional de l'eixida en precisió arbitrària. Notablement, l'integral de Riemann és computable, mentres que la diferenciació en funcions reals no ho és en general.

Topología i computabilidad

Existix una analogia profunda entre conceptes topològics i computacionals:

• Els conjunts semidecidibles corresponen a oberts topològics.
• La compacidad computable generalisa la teorema de Heine-Borel.

Vore també

• Teoria de la computabilidad
• Anàlisis numèric
• Constructivisme matemàtic