Llei d'esperances iteradas

La llei d'esperances iteradas o llei d'Adán és una proposició en teoria de la provabilitat que establix que si $X$ és una variable aleatòria que la seua esperança $\mathrm{E}(X)$ és definida, i $Y$ és qualsevol variable aleatòria en el mateix espai de provabilitat, llavors es complix que

$\mathrm{E}(X)=\mathrm{E}(\mathrm{E}(X\mid Y)),$

és dir, l'esperança o valor esperat de $X$ és igual al valor esperat de l'esperança condicional de $X$ dau $Y$.

L'esperança condicional $\mathrm{E}(X\mid Y)$, sent $Y$ una variable aleatòria, no és un simple número, és una variable aleatòria el valor de la qual depén del valor de $Y$. És dir, l'esperança condicional de $X$ dau el event $Y=y$ és un número i és una funció de $y$ . Si denotem per $g(y)$ el valor de $\mathrm{E}(X\mid Y=y)$, llavors la variable aleatòria $\mathrm{E}(X\mid Y)$ és $g(Y)$ .

Un cas especial establix que si $\left\{A_i\right\}$ és una partició finita o contable del espai mostral, llavors

$\mathrm{E}(X)=\sum _i\mathrm{E}(X\mid A_i)\mathrm{P}(A_i).$

Eixemple

Supongam que només dos fàbriques suministren peres al mercat. Les peres de la fàbrica $X$ funcionen durant un promig de 5000 hores, mentres que les de la fàbrica $Y$ funcionen una mija de 4000 hores. Se sap que la fàbrica $X$ suministra el 60% del total de peres disponibles. ¿Quin és el temps de funcionament (L) esperat d'una pera comprada?

Aplicant la llei d'esperances iteradas, tenim:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(L)& =\mathrm{E}(L\mid X)\mathrm{P}(X)+\mathrm{E}(L\mid Y)\mathrm{P}(Y)\\ & =5000(0.6)+4000(0.4)\\ & =4600\end{array}$

on

• $\mathrm{E}(L)$ és la vida útil esperada de la pera;
• $\mathrm{P}(X)=\frac{6}{10}$ és la provabilitat de que la pera comprada haja segut produïda en la fàbrica $X$ ;
• $\mathrm{P}(Y)=\frac{4}{10}$ és la provabilitat de que la pera comprada haja segut produïda en la fàbrica $Y$ ;
• $\mathrm{E}(L\mid X)=5000$ és la vida útil esperada d'una pera produïda en la fàbrica $X$ ;
• $\mathrm{E}(L\mid Y)=4000$ és la vida útil esperada d'una pera produïda en la fàbrica $Y$ .

Per lo tant, cada pera comprada té una vida útil esperada de 4.600 hores.

Prova informal

Quan una funció de densitat de provabilitat conjunta està ben definida i les esperances són integrables, escrivim per al cas general $$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X)& =\int x\mathrm{Pr}[X=x]dx\\ \mathrm{E}(X\mid Y=y)& =\int x\mathrm{Pr}[X=x\mid Y=y]dx\\ \mathrm{E}(\mathrm{E}(X\mid Y))& =\int (\int x\mathrm{Pr}[X=x\mid Y=y]dx)\mathrm{Pr}[Y=y]dy\\ & =\int \int x\mathrm{Pr}[X=x,Y=y]dxdy\\ & =\int x(\int \mathrm{Pr}[X=x,Y=y]dy)dx\\ & =\int x\mathrm{Pr}[X=x]dx\\ & =\mathrm{E}(X).\end{array}$$Una derivació similar funciona per a distribucions discretes utilisant adició en lloc d'integració. Per al cas específic d'una partició, assigne a cada cela de la partició una etiqueta única i siga la variable aleatòria I la funció de l'espai mostral que assigna l'etiqueta d'una cela a cada punt d'eixa cela.

Vore també

• Llei de provabilitat total