Esperanza (matemàtica)

En matemàtica, concretament en la branca d'estadística, l'esperança (denominada aixina mateix valor esperat, mija poblacional o mija) d'una variable aleatòria $X$ , és el número $𝔼[X]$ o $\text{E}[X]$ que formalisa l'idea de valor mig d'un fenomen aleatori.

En matemàtica, concretament en la branca d'estadística, la esperança (denominada aixina mateix valor esperat, mija poblacional o mija) d'una variable aleatòria $X$, és el número $𝔼[X]$ o $\text{E}[X]$ que formalisa l'idea de valor mig d'un fenomen aleatori. És un concepte anàlec a la mija aritmètica d'un conjunt de senyes.

Quan la variable aleatòria és discreta, l'esperança és igual a la suma de la provabilitat de cada possible succés aleatori multiplicat pel valor de dit succés. Per lo tant, representa la cantitat promig que es «espera» com a resultat d'un experiment aleatori quan la provabilitat de cada succés es manté constant i l'experiment es repetix un elevat número de voltes. cal dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser «esperat» en el sentit més general de la paraula (el valor de l'esperança pot ser improvable o inclús impossible).

Per eixemple, el valor esperat quan tirem un dau equilibrat de 6 cares és 3,5. Podem fer el càlcul

$\begin{array}{c}\mathrm{E}(X)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}\\ =\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5\end{array}$

i cal destacar que 3,5 no és un valor possible en tirar el dau. En este cas, en el que tots els successos són d'igual provabilitat, l'esperança és igual a la mija aritmètica.

Una aplicació comuna de l'esperança matemàtica és en les apostes o els jocs d'encert. Per eixemple, la ruleta francesa té 37 caselles equiprobables. El guany per a encertar una aposta a un sol número paga de 35 a 1 (és dir, cobrem 35 voltes lo que hem apostat). Per tant, considerant els 37 possibles resultats, l'esperança matemàtica del benefici per a apostar a un sol número és:

$(-1\cdot \frac{36}{37})+(35\cdot \frac{1}{37})$

que és aproximadament -0,027027. Per lo tant un esperaria, en mija, perdre uns 2,7 cèntims per cada euro que aposta, i el valor esperat per a apostar 1 euro són 0.972973 euros. En el món de les apostes, un joc a on el benefici esperat és zero (no guanyem ni perdem) es diu un «joc just».

Nota: El primer terme és la «esperança» de perdre l'aposta de 1€, per això el valor és negatiu. El segon terme és l'esperança matemàtica de guanyar els 35€. L'esperança matemàtica del benefici és el valor esperat a guanyar menys el valor esperat a perdre.

Definició

Com ya s'ha dit, hi ha vàries formes de definir el valor esperat en funció del context. La definició més senzilla i original es referix al cas d'un número finito de resultats possibles, com el llançament d'una moneda. En la teoria de les séries infinites, es pot ampliar al cas d'un número contable de resultats possibles. També és molt comú considerar el cas distint de les variables aleatòries dictades per funciones de densitat de provabilitat contínues (a trossos), ya que sorgixen en molts contexts naturals. Totes estes definicions específiques poden considerar-se casos especials de la definició general basada en les ferramentes matemàtiques de la teoria de la mida i l'integració de Lebesgue, que proporcionen a estos diferents contexts una base axiomàtica i un llenguage comú.

Qualsevol definició de valor esperat pot estendre's per a definir un valor esperat d'una variable aleatòria multidimensional, és dir, un vector aleatori X. Es definix component a component, com I[X]_i = I[X_i]. Análogament, es pot definir el valor esperat d'una matriu aleatòria X en components X_ij per I[X]_ij = I[X_ij].

Cas discret

Per a una variable aleatòria discreta $X$ en funció de provabilitat $\mathrm{P}[X=x_i]$ en $i=1,2,\dots ,n$ l'esperança es definix com

$\mathrm{E}[X]=\sum _{i=1}^n{x}_i\mathrm{P}[X=x_i]$

Cas continu

Per a una variable aleatòria contínua $X$ en funció de densitat $f_X(x)$ el valor esperat es definix com l'integral de Riemann

$\mathrm{E}[X]=\underset{ℝ}{\int }x{f}_X(x)dx$

Cas general

En general, si $X$ és una variable aleatòria definit en l'espai de provabilitat $(\Omega ,ℱ,\mathrm{P})$ llavors el valor esperat de $X$, denotat per $\mathrm{E}[X]$, està definit com l'integral de Lebesgue

$\mathrm{E}[X]=\underset{\Omega }{\int }X(\omega )dP(\omega )$

Per a variables aleatòries multidimensionales, el seu valor esperat està definit per component, açò és

$\mathrm{E}[(X_1,\dots ,X_n)]=(\mathrm{E}[X_1],\dots ,\mathrm{E}[X_n])$

i, per a una matriu aleatòria $X$ en elements $X_{i,j}$, $(\mathrm{E}[X]{)}_{i,j}=\mathrm{E}[X_{i,j}]$.

Moments

Les esperances

$\mathrm{E}[X^k]$

per a $k=1,2,\mathrm{...}$ es diuen moments d'orde $k$ o el $k$-ésimo moment de la variable aleatòria $X$. Més importants són els moments centrats $\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^k]$.

No totes les variables aleatòries tenen un valor esperat. Per eixemple, la distribució de Cauchy no ho té.

Història

L'idea del valor esperat es va originar a mitan de el XVII a partir de l'estudi del cridat problema dels punts, que busca repartir les apostes de manera justa entre dos jugadors, que tenen per a terminar el seu joc ans que estiga correctament terminat. Este problema havia segut debatut durant sigles. Es varen sugerir moltes propostes i solucions contradictòries a lo llarc dels anys quan l'escritor francés i matemàtic aficionat Chevalier de Méré li'l va plantejar a Blaise Pascal en 1654. Méré va afirmar que este problema no podia resoldre's i que va mostrar cuán defectuoses eren les matemàtiques quan es tractava de la seua aplicació al món real. Pascal, sent matemàtic, es va sentir provocat i decidit a resoldre el problema d'una volta per totes.

Va començar a discutir el problema en la famosa série de cartes a Pierre de Fermat. Molt pronte, a abdós se'ls va ocórrer una solució de forma independent. Varen resoldre el problema de diferents formes computacionals, pero els seus resultats varen ser idèntics perque els seus càlculs es varen basar en el mateix principi fonamental. El principi és que el valor d'un guany futur deu ser directament proporcional a la possibilitat d'obtindre-la. Este principi semblava haver aplegat naturalment a abdós. Estaven molt complaguts pel fet de que havien trobat essencialment la mateixa solució, i açò a la seua volta els va deixar absolutament convençuts de que havien resolt el problema de manera concloent; no obstant, no varen publicar les seues troballes. Solament varen informar al respecte a un chicotet círcul d'amics científics mutus en París.

En el llibre del matemàtic neerlandés Christiaan Huygens, va considerar el problema dels punts i va presentar una solució basada en el mateix principi que les solucions de Pascal i Fermat. Huygens va publicar el seu tractat en 1657 (vore Bibliografia - Huygens (1657)) "De ratiociniis in ludo aleæ" en la teoria de la provabilitat just despuix de visitar París. El llibre va ampliar el concepte d'expectativa en agregar regles sobre cóm calcular les expectatives en situacions més complicades que el problema original (per eixemple, per a tres o més jugadors), i pot vore's com el primer intent exitós d'assentar les bases de la teoria de la provabilitat.

En el pròlec del seu tractat, Huygens va escriure:

Cal dir, també, que des de fa algun temps alguns dels millors matemàtics de França s'han ocupat d'esta espècie de càlcul per a que ningú m'atribuïxca l'honor del primer invent. Açò no em pertany. Pero estos sabio, encara que es posen a prova uns a uns atres proponent-se moltes qüestions difícils de resoldre, han ocultat els seus métodos. Per lo tant, he tingut que examinar i profundisar per mi mateixa en este assunt començant en els elements, i m'és impossible per esta raó afirmar que inclús he partit del mateix principi. Pero finalment he trobat que les meues respostes en molts casos no diferixen de les d'ells.

Edwards (2002)

Durant la seua visita a França en 1655, Huygens es va enterar del Problema de de Méré. De la seua correspondència en Carcavine un any despuix (en 1656), es va donar conte de que el seu método era essencialment el mateix que el de Pascal. Per lo tant, sabia sobre la prioritat de Pascal en este tema ans que el seu llibre fòra a l'imprenta en 1657.

A mitan de el XIX, Pafnuty Chebyshev es va convertir en la primera persona en pensar sistemàticament en térmens de les expectatives de variables aleatòries.

Etimologia

Ni Pascal ni Huygens varen utilisar el terme "expectativa" en el seu sentit modern. En concret, Huygens escriu:

Que qualsevol oportunitat o expectativa de guanyar alguna cosa val tal sumixca com la que s'obtindria en la mateixa oportunitat i expectativa a un preu just. ... Si espere a o b, i tinc la mateixa possibilitat de guanyar-los, la meua expectativa val (a+b)/2.

Més de cent anys despuix, en 1814, Pierre-Simon Laplace va publicar el seu tractat "Théorie analytique dones probabilités", a on es definia explícitament el concepte de valor esperat:

... esta ventaja en la teoria de l'encert és el producte de la suma esperada per la provabilitat d'obtindre-la; és la suma parcial que deuria resultar quan no volem córrer els riscs de l'acontenyiment en supondre que la divisió es fa proporcional a les provabilitats. Esta divisió és l'única equitativa quan s'eliminen totes les circumstàncies estranyes; perque un grau igual de provabilitat dona un dret igual a la suma esperada. Cridarem a esta ventaja esperança matemàtica.

Vore també

• Informació de Fisher
• Varianza
• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Bibliografia

• Edwards, A.W.F (2002). Pascal's arithmetical triangle: the story of a mathematical idea, 2nd edició, JHU Press. ISBN 0-8018-6946-3.
• (1657) De ratiociniis in ludo aleæ (Traducció a l'anglés, publicada en 1714.Traducció a l'anglés, publicada en 1714.).
• Billingsley, Patrick (1995). Probability and measure, Third edition of 1979 original edició, New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-00710-2.

• Casella, George; Berger, {{{nom2}}} (2001). Statistical inference, Second edition of 1990 original edició, Pacific Grove, CA: Duxbury. ISBN 0-534-11958-1.
• Feller, William (1968). An introduction to probability theory and its applications. Volume I, Third edition of 1950 original edició, New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc..
• Feller, William (1971). An introduction to probability theory and its applications. Volume II, Second edition of 1966 original edició, New York–London–Sydney: John Wiley & Sons, Inc..
• Johnson; Kotz, {{{nom2}}}; Balakrishnan, {{{nom3}}} (1994). Continuous univariate distributions. Volume 1, Second edition of 1970 original edició, New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-58495-9.
• Papoulis, Athanasios; Pillai, {{{nom2}}} (2002). Probability, random variables, and stochastic processes, Fourth edition of 1965 original edició, New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-366011-6.
• Ross, Sheldon M. (2019). Introduction to probability models, Twelfth edition of 1972 original edició, London: Academic Press. doi:10.1016/C2017-0-01324-1. ISBN 978-0-12-814346-9.