Lema de Riesz

El Lema de Riesz (per Frigyes Riesz ) és un lema del anàlisis funcional. Especifica condicions que garantisen que un subespacio en un espai vectorial normado siga dens. El lema també pot denominar-se lema de Riesz o desigualtat de Riesz. Pot vore's com un substitut de la ortogonalidad quan l'espai normado no és un espai producte intern .

Enunciat

Siga $Y$ un subespacio propi tancat d'un espai normado $(X,\Vert \cdot \Vert )$ i siga $\alpha$ qualsevol número real que satisfà $0<\alpha <1.$ Llavors existix un vector $u$ en $X$ unitari $\Vert u\Vert =1$ tal que $\Vert u-y\Vert \ge \alpha$ para tot $y$ en $Y.$

Si $X$ és un espai de Banach reflexiu llavors esta conclusió també és certa quan $\alpha =1.$

La prova es pot trobar en texts d'anàlisis funcional com Kreyszig. Està disponible una prova en llínea de l'Prof. Paul Garrett .

Algunes conseqüències

El lema de Riesz garantisa que per a qualsevol dau $0<\alpha <1,$ cada espai normado de dimensió infinita conté una seqüència $x_1,x_2,\dots$ de vectores unitaris (distints) que satisfan $\Vert x_n-x_m\Vert >\alpha$ per a $m\ne n;$ O dit de forma senzilla, estos vectores estan tots separats entre sí per una distància de més de $\alpha$ i al mateix temps tots es troben en l'esfera unitària. Tal seqüència infinita de vectores no es pot trobar en l'esfera unitària de cap espai normado de dimensió finita (considere's, per eixemple, el círcul unitari en ${ℝ}^2$ ).

Esta seqüència es pot construir per inducció per a qualsevol constant $0<\alpha <1.$ Comence elegint qualsevol element $x_1$ de l'esfera unitària. Deixar $Y_{n-1}$ ser el tram llineal de $\{x_1,\dots ,x_{n-1}\}$ i (usant el lema de Riesz) elegixca $x_n$ de l'esfera unitària tal que

$d(x_n,Y_{n-1})>\alpha$ on $d(x_n,Y)=\underset{y\in Y}{\inf }\Vert x_n-y\Vert .$

esta seqüència $x_1,x_2,\dots$ no conté una subsecuencia convergent, lo que implica que la bola unitària tancada no és compacta.

Caracterisació de la dimensió finita.

El lema de Riesz es pot aplicar directament per a demostrar que la bola unitària d'un espai normado de dimensió infinita $X$ mai és compacte. Açò es pot utilisar per a caracterisar espais normados de dimensió finita: si $X$ és un espai vectorial normado, llavors $X$ és de dimensió finita si i només si la bola unitària tancada en $X$ és compacte.

Teoria espectral

Les propietats espectrals dels operadors compactes que actuen sobre un espai de Banach són similars a les de les matrius. El lema de Riesz és essencial per a establir este fet.

Atres aplicacions

Com es detalla en l'artícul sobre la mida de Lebesgue de dimensió infinita, açò és útil per a mostrar l'inexistència de certes mides en espais de Banach de dimensió infinita. El lema de Riesz també mostra que l'operador d'identitat en un espai de Banach $X$ és compacte si i només si $X$ és de dimensió finita.

Vore també

• Teorema de James - una caracterisació de reflexividad donat per una condició sobre la bola unitària.