Frontera Bekenstein

En física, la frontera Bekenstein o llímit de Bekenstein és un llímit superior a l'entropía S, o informació I, que poden estar continguts en una regió finita de l'espai que té també una cantitat finita d'energia, o també, la cantitat màxima d'informació necessària per a descriure perfectament a un sistema físic fins al nivell quàntic. Açò implica que l'informació d'un sistema físic, o l'informació necessària per a descriure-ho perfectament, deu ser finita si eixa regió de l'espai i l'energia són finitos. En ciències de la computació, implica que existix una taxa de processament de l'informació màxima (llímit de Bremermann) per a un sistema físic que té un tamany i energia finitos, i que una màquina de Turing en dimensions físiques finitas i memòria illimitada no és físicament possible.

La frontera Bekenstein llimita la cantitat d'informació que es pot almagasenar dins d'un volum esfèric a la entropía d'un forat negre en la mateixa superfície.

Equacions

La forma universal del llímit va ser trobada originalment per Jacob Bekenstein com la desigualtat

$S\le \frac{2\pi kRE}{\hslash c}$

a on $S$ és la entropía, $k$ és la constant de Boltzmann, $R$ és el radi d'una esfera que pot tancar a un sistema donat, $E$ és el total de massa-energia incloent qualsevol massa residual, $\hslash$ és la constant reduïda de Planck, i $c$ és la velocitat de la llum. Cal notar que encara que la gravetat juga un paper important, l'expressió del llímit no conté la constant de Newton $G$.

En térmens computacionals, el llímit està donat per:

$I\le \frac{2\pi RE}{\hslash c\ln 2}$

a on $I$ és l'informació expressada en número de bits continguts en els estats quàntics de l'esfera. El factor $\ln 2$ procedix de la definició de l'informació com el logaritmo base 2 del número d'estats quàntics. Usant l'equivalència massa-energia, el llímit informatiu pot reformular-se com

$I\le \frac{2\pi cRm}{\hslash \ln 2}\approx 2.577\times 10^{43}mR$

a on $m$ és la massa del sistema en quilograms i $R$ el radi en metros.

Eixemples

Forats negres

Succeïx que l'entropía Bekenstein-Hawking de forats negres tridimensionals satura exactament el llímit

$S=\frac{kA}{4}$

a on $A$ és l'àrea bidimensional del horisó de successos del forat negre en unitats de l'àrea de Planck, $\hslash G/c^3$.

La frontera està estretament relacionat en la termodinàmica dels forats negres, el principi holográfico i la frontera d'entropía covariant de la gravetat quàntica, i es pot derivar per una precisa conjectura d'esta última.

Cervell humà

El cervell humà promig té una massa d'1,5 kg i un volum de 1260 cm³. Si el cervell s'aproximara per una esfera llavors el radi serà 6,7 cm. La frontera Bekenstein associada és $\approx 2.6\times 10^{42}$ bits i representa el màxim d'informació necessària per a recrear perfectament un cervell humà promig a nivell quàntic. Açò significa que el número $O=2^I$ dels estats del cervell humà deu ser inferior a $\approx 10^{7.8\times 10^{41}}$.

L'existència de la frontera de Bekenstein implica que la capacitat d'almagasenament de cervell humà és finito, encara que potencialment molt gran; acotat solament pels llímits físics . Segons açò tindríem que la transferència mental seria possible des del punt de vista de la mecànica quàntica, a condición de que el fisicalismo siga cert.