Equació d'estat (cosmologia)

En cosmologia, la equació d'estat d'un decorregut perfecte es caracterisa per un número adimensional $w$, igual a la relació entre la seua pressió $p$ i la seua densitat d'energia $\rho$:

$$w\equiv \frac{p}{\rho }.$$ Està estretament relacionada en l'equació d'estat termodinàmica i la llei dels gasos ideals.

L'equació

L'equació d'estat del gas perfecte es pot escriure com $$p={\rho }_{m}RT={\rho }_m{C}^2$$ a on ${\rho }_m$ és la densitat de massa, $R$ és la constant particular del gas, $T$ és la temperatura i $C=\sqrt{RT}$ és una velocitat tèrmica característica de les molècules. Per lo tant $$w\equiv \frac{p}{\rho }=\frac{{\rho }_m{C}^2}{{\rho }_m{c}^2}=\frac{C^2}{c^2}\approx 0$$ a on $c$ és la velocitat de la llum, $\rho ={\rho }_m{c}^2$ i $C\ll c$ per a un gas «fret».

Equacions FLRW i l'equació d'estat

L'equació d'estat pot utilisar-se en les equacions de Mètrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) per a descriure l'evolució d'un univers isotrópico ple d'un decorregut perfecte. Si $a$ és el factor d'escala, llavors $$\rho \propto a^{-3(1+w)}.$$ Si el decorregut és la forma dominant de matèria en un univers pla, llavors $$a\propto t^{\frac{2}{3(1+w)}},$$ a on $t$ és el temps propi.

En general, l'equació d'acceleració de Friedmann és $$3\frac{\ddot{a}}{a}=\Lambda -4\pi G(\rho +3p)$$ a on $\Lambda$ és la constant cosmológica i $G$ és la constant de Newton, i $\ddot{a}$ és la segona derivada temps propi del factor d'escala.

Si definim la densitat d'energia i la pressió (lo que podríem cridar «efectives») com $${\rho }^{\prime }\equiv \rho +\frac{\Lambda }{8\pi G}$$ $$p^{\prime }\equiv p-\frac{\Lambda }{8\pi G}$$ i $$p^{\prime }=w^{\prime }{\rho }^{\prime }$$ l'equació d'acceleració es pot escriure com $$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4}{3}\pi G({\rho }^{\prime }+3p^{\prime })=-\frac{4}{3}\pi G(1+3w^{\prime }){\rho }^{\prime }$$

Partícules no relativistes

L'equació d'estat per a la «matèria» ordinària no relativista (per eixemple, la pols freda) és $w=0$, lo que significa que la seua densitat d'energia disminuïx com $\rho \propto a^{-3}=V^{-1}$, a on $V$ és un volum. En un univers en expansió, l'energia total de la matèria no relativista permaneix constant, i la seua densitat disminuïx a mida que aumenta el volum.

Partícules ultrarelativistas

L'equació d'estat de la «radiació» ultrarelativista (inclosos els neutrinos i, en l'univers primitiu, atres partícules que més vesprada es varen convertir en no relativistes) és $w=1/3$, lo que significa que la seua densitat d'energia disminuïx com $\rho \propto a^{-4}$. En un univers en expansió, la densitat d'energia de la radiació disminuïx més ràpidament que l'expansió del volum, degut a que la seua llongitut d'ona es produïx un corriment al roig.

Acceleració de l'inflació còsmica

l'inflació còsmica i l'expansió accelerada de l'univers poden caracterisar-se per mig de l'equació d'estat de l'energia obscura. En el cas més simple, l'equació d'estat de la constant cosmológica és $w=-1$. En este cas, l'expressió anterior per al factor d'escala no és vàlida i $a\propto e^{Ht}$, a on la constant H és el paràmetro de Hubble. De manera més general, l'expansió de l'univers s'accelera per a qualsevol equació d'estat $w<-1/3$. L'expansió accelerada de l'univers es va observar efectivament. El valor observat de l'equació d'estat de la constant cosmológica és propenc a −1 segons tres importants estudis diferents.

L'hipotètica energia obscura fantasma tindria una equació d'estat $w<-1$, i provocaria un Big Rip. Utilisant les senyes existents, seguix sent impossible distinguir entre fantasma $w<-1$ i no fantasma $w\ge -1$.

Decorreguts

En un univers en expansió, els decorreguts en equacions d'estat més grans desapareixen més ràpidament que aquells en equacions d'estat més menudes. Est és l'orige dels problemes de planitud i monopoli del Big Bang: la curvatura té $w=-1/3$ i els monopols tenen $w=0$, per lo que si existiren en el moment del Big Bang, encara deurien ser visibles hui en dia. Estos problemes es resolen en l'inflació còsmica, que té $w\approx -1$. La medició de l'equació d'estat de l'energia obscura és un dels majors esforços de la cosmologia observacional. Per mig de la medició precisa de $w$, s'espera poder distinguir la constant cosmológica de la quintaesencia, que té $w\ne -1$.

Modelat escalar

Un camp escalar $\varphi$ pot considerar-se com una espècie de decorregut perfecte en l'equació d'estat $$w=\frac{\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2-V(\varphi )}{\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2+V(\varphi )},$$ a on $\dot{\varphi }$ és la derivada temporal de $\varphi$ i $V(\varphi )$ és l'energia potencial. Un camp escalar lliure ($V=0$) té $w=1$, i un en energia cinètica nula és equivalent a una constant cosmológica: $w=-1$. Qualsevol equació d'estat entre abdós, pero sense creuar la barrera $w=-1$ coneguda com la llínea divisòria fantasma (PDL), és alcanzable, lo que fa que els camps escalares siguen models útils per a molts fenomens en cosmologia.

Taula

Els diferents tipos d'energia tenen diferents propietats d'escala.

Valor	Escalat de densitat energètica	Escalat temporal	Fenomens descrits	Eixemples	Dimensions de defectes topològics	Defecte topològic descrit
$w=1$	$\rho \propto a^{-6}$	$a\propto t^{\frac{1}{3}}$	Camp escalar lliure	Camp de Higgs, dilatonescita requerida	-	-
$w=1/3$	$\rho \propto a^{-4}$	$a\propto t^{\frac{1}{2}}$	Partícules ultrarelativísticas	Fotons, neutrinos ultrarelativísticos, rajos còsmics	-	-
$w=0$	$\rho \propto a^{-3}$	$a\propto t^{\frac{2}{3}}$	Partícules no relativísticas	Matèria bariónica freda, matèria obscura freda, fondo còsmic de neutrinos	0	Monopols magnètics
$w=-1/3$	$\rho \propto a^{-2}$	$a\propto t$	Curvatura	Curvatura de l'espai-temps	1	Cordes còsmiques
$w=-2/3$	$\rho \propto a^{-1}$	$a\propto t^2$	-	-	2	Parets de domini
$w=-1$	$\rho \propto a^0$	$a\propto e^{Ht}$	Constant cosmológica	Energia obscura	-	-
$w<-1$	-	-	Energia obscura fantasma	-	-	-