Mètrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Plantilla:Cosmologia La mètrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker o model FLRW és una solució exacta de les equacions de camp d'Einstein de la relativitat general. Descriu un univers en expansió (o contracció), homogéneu i isótropo. Segons les preferències geogràfiques o històriques en el nom d'esta mètrica s'utilisa algun subconjunt dels noms dels científics Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson (Howard P. Robertson) i Arthur Geoffrey Walker.

Forma de la mètrica

La mètrica FLRW escomença en la suposició d'homogeneïtat i isotropía. També assumix que el component espacial de la mètrica pot ser depenent del temps. En unitats en les que c = 1, la mètrica general que complix estes condicions és:

(1) $\mathrm{d}{s}^2=-\mathrm{d}{t}^2+{a(t)}^2(\frac{\mathrm{d}{r}^2}{1-k{r}^2}+r^2\mathrm{d}{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta \mathrm{d}{\varphi }^2)$

A on $k$ descriu la curvatura i és constant en el temps, $a(t)$ és el factor d'escala i és explícitament depenent del temps, i les unitats naturals són utilisades establint la velocitat de la llum com l'unitat. Les equacions del camp d'Einstein no s'utilisen en esta solució: la mètrica s'obté de les propietats geomètriques d'homogeneïtat i isotropía. La forma específica de $a(t)$ necessita conéixer les equacions del camp i la definició de l'equació de densitat d'estat, $\rho (a)$.

Normalisació

La mètrica deixa alguna possibilitat de normalisació. Una elecció comuna és considerar el factor d'escala actual com l'unitat ($a(t_0)\equiv 1$). En esta elecció la coordenada $r$ és dimensional de la mateixa manera que $k$. En esta aproximació $k$ no és igual a ±1 o 0 sino que $k=H_0^2({\Omega }_0-1)$.

Una atra possibilitat és especificar que $k$ és ± 1 o 0. D'açò s'obté que $k/a(t_0{)}^2=H_0^2({\Omega }_0-1)$ a on el factor d'escala ara és dimensional i la coordenada $r$ és adimensional.

La mètrica freqüentment s'escriu d'una manera de curvatura normalisada per mig de la transformació

En coordenades normalisades en curvatura la mètrica es convertix en:

A on: Esta elecció assumix que el factor d'escala és adimensional pero pot convertir-se fàcilment a la $k$ normalisada.

La distància comóvil és la distància a un objecte en velocitat peculiar zero. En la curvatura normalisada la coordenada és $\chi$. La distància pròpia és la distància física a un punt en l'espai en un instant de temps. La distància pròpia és $a(t)\chi$.

Propietats generals de l'espai-temps de FLRW

Contingut material

La solució donada per la mètrica FLRW, descriu un univers ple d'un decorregut ideal en densitat i pressió donada per les equacions de Friedmann. És una solució de les equacions del camp d'Einstein $G_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }$ donant les equacions de Friedmann quan el tensor moment energia se supon de la mateixa manera que és isótropo i homogéneu. En unitats en les que c = 1, les equacions resultants són:

(3) $\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}-\frac{\Lambda }{3}=\frac{8\pi G}{3}\rho$

(4) $2\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}+\frac{k}{a^2}-\Lambda =-8\pi Gp$

A on:

$k\in \{-1,0,1\}$ és el signe de la curvatura espacial.

$a$ és el factor d'escala, a partir del com pot calcular-se el tamany del univers observable.

$\Lambda$ és la constant cosmológica

$G$ és la constant de la gravitació universal

$\rho ,p$ són la densitat i la pressió de la matèria interestelar.

Estes equacions servixen com una primera aproximació del model cosmológico convencional del Big Bang incloent l'actual modele Lambda-CDM.

Degut a que la mètrica FLRW exacte descriu un univers perfectament homogéneu, algunes fonts afirmen erròneament que el model del Big Bang basat en la mètrica FLRW no pot donar conte de la grumosidad observada de l'univers. En un model FLRW estricte, no hi ha cúmuls galàctics o acumulacions d'estreles, ya que eixes estructures constituïxen inhomogeneidades. No obstant, la FLRW s'utilisa com una primera aproximació per a l'evolució de l'univers perque és simple i els models que calculen la grumosidad de l'univers s'afigen a el FLRW com a extensions. Molts cosmólogos estan d'acort en que l'univers observable s'aproxima de manera fidel a un model quasi-FLRW, és dir, un model que utilisa la mètrica FLRW a partir de les fluctuacions de la densitat primigènia. Fins a 2003, les implicacions teòriques de les vàries extensions de el FLRW semblaven estar ben compreses i l'objectiu és fer estes consistents en les observacions del COBE i del WMAP. Una conseqüència de les equacions de Friedmann és que la següent magnitut $E$, que té unitats d'energia, es manté constant:

$E=\frac{{\dot{a}}^2}{2}-\frac{4\pi G}{3}\rho a^2-\frac{\Lambda }{6}{a}^2=-\frac{k}{2}$

Geodèsiques

El moviment lliure de les partícules en un univers, és dir, les trayectòries que seguixen a mida que l'espai-temps sancer evoluciona vénen donades per les llínees geodèsiques calculables a partir de la mètrica:

$\begin{array}{cc}\ddot{t}+\frac{{a^{\prime }}_t}{2c^2}[{\dot{r}}^2+{\overline{r}}^2({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)]=0& \ddot{r}+\frac{{{\dot{a}}^{\prime }}_t}{a}+\dot{r}\dot{t}-\overline{r}{{\overline{r}}^{\prime }}_r[{\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2]=0\\ \\ \ddot{\theta }+\frac{{{\dot{a}}^{\prime }}_t}{a}\dot{\theta }\dot{t}+\frac{{\overline{r}}_r}{2\overline{r}}\dot{\theta }\dot{r}-\sin \theta \cos \theta {\dot{\phi }}^2=0& \ddot{\phi }+\frac{{{\dot{a}}^{\prime }}_t}{a}\dot{\phi }\dot{t}+\frac{{\overline{r}}_r}{2\overline{r}}\dot{\phi }\dot{r}+2\tan \theta \dot{\phi }\dot{\theta }=0\end{array}$

Pot comprovar-se que els cridats observadors galàctics que es mouen junt en la matèria que provoca la curvatura de l'espai-temps donada per:

$t(\tau )=\tau ,r(\tau )=r_0\theta (\tau )={\theta }_0,\phi (\tau )={\phi }_0$

Són llínees geodèsiques.

Tensor de Riemann

De les potencialment 55 components independents del tensor de Riemann, en les mateixes coordenades usades en la mètrica (2), el tensor de Riemann es pot escriure a partir de com a màxim sis components diferents de zero:

Grup d'isometría

Per a qualsevol valor dels paràmetros la mètrica FLRW definix un univers espacialmente isótropo i homogéneu, encara que no existix cap simetria respecte al temps, això fa que el grup d'isometría siga precisament el grup de simetria d'un espai isótropo i homogéneu de curvatura uniforme. Eixe grup és un grup de Lie de dimensió 6, per al cas d'un espai pla (k = 0) eixe grup és precisament: ${ℝ}^3\times SO(3)$

Referències

• (1922).10

377–386.

• (1924).21

326–332.

• d'Inverno, Ray (1992). Oxford University Press (ed.). Introducing Einstein's Relativity, Oxford.. (Vore Capítul 23 per a una introducció particularment clara i concisa dels models FLRW.)
• (1931).91

483-490.

• (1933).A53

51-85.

• (1935).82

248-301.

• (1936).83

187-201.

• (1936).83

257–271.

• (1937).42

90-127.