Equacions de Friedmann

Aleksandr Fridman

Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions utilisades en cosmologia física que descriuen l'expansió mètrica de l'espai en models homogéneus i isótropo de l'univers dins del context de la teoria general de la relativitat. Varen ser trobades per Aleksandr Fridman en 1922 a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un decorregut en una densitat de massa $\rho$ , $([\rho ]=kg/m^3)$, i una pressió $p$, $([p]=N/m^2=kg/(s^{2}m))$, donades. Les equacions són:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G\rho +\Lambda c^2}{3}-K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=\Lambda c^2-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$

Símbol	Nom
$\Lambda$	Constant cosmológica, possiblement causada per l'energia del buit
$G$	Constant de gravitació
$c$	Velocitat de la llum
$a$	Factor d'escala de l'univers
$K$	Curvatura gaussiana

Si la forma de l'univers és hiperesférica i $R$ és el radi de curvatura ($R_0$ en el moment actual), llavors $a=R/R_0$. Generalment, $\frac{K}{a^2}$ és la curvatura gaussiana. Si $K$ és positiva, llavors l'univers és hiperesférico. Si $K$ és zero, l'univers és pla, i si $K$ és negatiu, l'univers és hiperbòlic. Note's que $\rho$ i $p$ són funció de $a$. El paràmetro de Hubble, $H$, és un indicador de la velocitat d'expansió de l'univers.

Estes equacions a voltes se simplifiquen redefinint la densitat de massa i la pressió:

$\rho \to \rho -\frac{\Lambda c^2}{8\pi G}$

$p\to p+\frac{\Lambda c^4}{8\pi G}$

per a obtindre:

$H^2\equiv {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a}=-4\pi G(\rho +\frac{3p}{c^2})$.

El paràmetro de Hubble pot canviar en el temps si atres membres de l'equació són depenents del temps (en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura). Evaluant el paràmetro de Hubble en el moment actual produïx que la constant de Hubble que és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Aplicat a un decorregut en una equació d'estat donada, les equacions de Friedmann donen com resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'univers com a funció de la densitat del decorregut.

Alguns cosmòlecs criden a la segona d'estes dos equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann solament per a la primera equació.

El paràmetro de densitat

El paràmetro de densitat, Ω, es definix com la relació de la densitat actual (o observada) ρ respecte a la densitat crítica ρ_c de l'univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que Λ és zero (com és per a tots els univers de Friedmann bàsics) i establint la curvatura K igual a zero. Quan se substituïxen estos paràmetros en la primera equació de Friedmann es troba que

${\rho }_c=\frac{3H^2}{8\pi G}$

i s'obté que l'expressió per al paràmetro de densitat (útil per a comparar diferents models cosmológicos) és:

$\Omega \equiv \frac{\rho }{{\rho }_c}=\frac{8\pi G}{3H^2}\rho$

Este terme originalment va ser utilisat com una manera de determinar la geometria del camp en el que ρ_c és la densitat crítica per a la que la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nula, si Ω és major que un, la geometria és tancada i l'univers eventualment pararà la seua expansió i llavors es colapsarà. Si Ω és menor que un, serà obert i l'univers s'expandirà per a sempre. No obstant, també es poden sintetisar els térmens de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general para Ω en el cas de que este paràmetro de densitat d'energia siga exactemente igual a l'unitat. Llavors és una qüestió de medir els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acort en el modele Lambda-CDM, hi ha importants components de Ω per bariones, matèria obscura freda i energia obscura. La geometria del espai-temps va ser medida pel satèlit WMAP estant prop de ser una geometria plana, és dir, el paràmetro de curvatura K és aproximadament zero.

La primera equació de Friedmann a sovint s'escriu formalment en els parámeros de densitat:

$\frac{H^2}{H_0^2}={\Omega }_R{a}^{-4}+{\Omega }_M{a}^{-3}+{\Omega }_{\Lambda }-K{c}^2{a}^{-2}$

a on

• ${\Omega }_R$ és la densitat de radiació actual,
• ${\Omega }_M$ és la densitat de matèria (obscura més la bariónica) actual, i
• ${\Omega }_{\Lambda }$ és la constant cosmológica o la densitat de buit actual.

Equació de Friedmann reescalada

Establint $a=\tilde{a}{a}_0,{\rho }_c=3H_0^2/8\pi G,\rho ={\rho }_c\Omega ,t=\tilde{t}/H_0,{\Omega }_c=-K/H_0^2{a}_0^2$ a on $a_0$ i $H_0$ són per separat el factor d'escala i el paràmetro de Hubble actuals. Llavors es pot trobar que:

$\frac{1}{2}{\left(\frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)}^2+U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(\tilde{a})=\frac{1}{2}{\Omega }_c$

a on $U_{eff}(\tilde{a})=\Omega {\tilde{a}}^2/2$. Per a qualsevol forma del potencial efectiu $U_{eff}(\tilde{a})$, hi ha una equació d'estat $p=p(\rho )$ que la produirà.