Elipsoide de Poinsot

Archiu:Poinsotschekonstruktion1.png

Elipsoide de Poinsot

Archiu:Elipsoide de Poinsot.png

Elipsoide de Poinsot

Archiu:PoinsotDrehimpulsEllipsoid.png

Elipsoide de Poinsot (de color gris) i els seus polhodas, i elipsoide de rotació (groc)

Archiu:SeparatrixLoxodrome.png

Trayectòria d'un punt en l'eix roig al voltant de l'eix de moment angular (llínea vertical) a lo llarc d'una loxodroma

En mecànica clàssica, la construcció de Poinsot (en referència al matemàtic francés Louis Poinsot) és un método geomètric per a visualisar el moviment d'un cos rígit giratori no somés a moments de rotació, és dir, el moviment d'un cos rígit sobre el qual no actuen forces externes. Este moviment té quatre constants: l'energia cinètica del cos i les tres components del moment angular, expressades sobre un sistema de referència inercial.

El vector velocitat angular $𝝎$ del cos en rotació "no és constant", pero satisfà les equacions de Euler. Sense resoldre explícitament estes equacions, Louis Poinsot va poder visualisar el moviment del punt final del vector de la velocitat angular utilisant la conservació de l'energia cinètica i el moment angular com a restriccions en la variació del vector de velocitat angular $𝝎$. Si el cos rígit és simètric (té dos moments d'inèrcia iguals), el vector $𝝎$ descriu un con (i el seu punt final recorre un círcul). Este cas és conegut com el moviment de precesión descrit per l'eix de rotació d'un sòlit rígit, sense intervenció d'un parell de forces.

Restricció de l'energia cinètica angular

La llei de conservació de l'energia implica que, en absència de malbarat d'energia o de parells aplicats, l'energia cinètica angular $T$ es conserva, per lo que $\frac{dT}{dt}=0$.

L'energia cinètica angular pot expressar-se en térmens del tensor d'inèrcia $𝐈$ i del vector de la velocitat angular $𝝎$

$T=\frac{1}{2}𝝎\cdot 𝐈\cdot 𝝎=\frac{1}{2}{I}_1{\omega }_1^2+\frac{1}{2}{I}_2{\omega }_2^2+\frac{1}{2}{I}_3{\omega }_3^2$

a on ${\omega }_k$ són les components del vector velocitat angular $𝝎$ respecte als eixos principals del sòlit rígit, i $I_k$ són els moments d'inèrcia principals. Per lo tant, la conservació de l'energia cinètica impon una restricció al vector tridimensional de la velocitat angular $𝝎$; en el marc de l'eix principal, i deu estar contingut en un elipsoide, cridat elipsoide d'inèrcia.

Els valors dels eixos de l'elipsoide són la mitat del moment d'inèrcia. El camí traçat en este elipsoide pel vector de la velocitat angular $𝝎$ es diu polhoda (terme falcat per Poinsot a partir de les raïls gregues per a expressar "camí del pol") i és generalment circular o en forma de círcul alabeado.

Restricció de moment angular

La llei de conservació del moment angular establix que en absència de parells de forces aplicats, el vector del moment angular $𝐋$ es conserva en un sistema de referència inercial, i llavors $\frac{d𝐋}{dt}=0$.

El vector del moment angular $𝐋$ pot expressar-se en térmens del tensor del moment d'inèrcia $𝐈$ i del vector de velocitat angular $𝝎$

$𝐋=𝐈\cdot 𝝎$

lo que du a l'equació

$T=\frac{1}{2}𝝎\cdot 𝐋.$

Ya que el producte escalar de $𝝎$ i $𝐋$ és constant, i que $𝐋$ en sí és constant, el vector de velocitat angular $𝝎$ té una component constant en la direcció del vector del moment angular $𝐋$. Açò impon una segona restricció al vector $𝝎$; en l'espai absolut, deu estar en el pla invariable definit pel seu producte vectorial en el vector constant $𝐋$. El vector normal al pla invariable està alineat en $𝐋$. El camí traçat pel vector de la velocitat angular $𝝎$ en el pla invariable es diu 'herpolhoda' (falcat a partir de les raïls gregues per a expressar "camí del pol serpenteante").

La herpolhoda és generalment una curva oberta, lo que significa que la rotació no es repetix perfectament, pero la polhoda és una curva tancada (vore més alvance).

Archiu:Erot300L220.gif Moviment epicicloide

Archiu:Erot300sep1.gif Moviment prop de la separatriz, vore efecte Dzhanibekov

Archiu:Erot300L220.gif Moviment pericicloide

Bibliografia

• Poinsot (1834) "Theorie Nouvelle de la Rotation dones Corps", Bachelier, París.
• Landau LD i Lifshitz EM (1976) "Mecànica", 3er. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) i ISBN 0-08-029141-4 (tapa blana).
• Goldstein H. (1980) "Mecànica clàssica", 2do. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• Symon KR. (1971) "Mecànica", 3ra. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7