Teorema de l'eix intermig

Archiu:Tennis racquet principal axes.svg

Eixos principals d'una raqueta de tenis

Demostració en l'espai de l'efecte Dzhanibekov en microgravedad, NASA

Vídeo compost d'una raqueta de tenis girada al voltant dels tres eixos: l'eix intermig gira des de la vora clara a la vora obscura.

Publicat en 1989 per M. Ashbaugh, C. Chicone, i R. Cushman, la teorema de la raqueta de tenis o teorema de l'eix intermig és un resultat en la mecànica clàssica que descriu el moviment d'un cos rígit en tres moments d'inèrcia principals diferents.^[1] També es coneix com a efecte Dzhanibekov pel cosmonauta soviètic Vladimir Dzhanibekov, qui va notar i va demostrar els seus efectes durant la missió Soyuz T-13 en 1985.^[2]

La teorema descriu l'efecte següent: la rotació d'un objecte al voltant del seu primer i tercer eixos és estable, mentres que la rotació al voltant del seu segon eix principal (o eix intermig) no ho és.

Açò pot ser demostrat en el següent experiment: prendre una raqueta de tenis pel mànec, en el pla horisontal de la raqueta paralel al sol, i intentar girar-la en l'aire per l'eix perpendicular horisontal al mànec (i2 en l'image). En casi tots els casos, la cara realisarà mija rotació, de modo que ara la cara que inicialment estava cap al sol quedarà cap a dalt en quant s'agarre la raqueta novament pel mànec. En canvi, és fàcil rotar la raqueta sobre l'eix del mànec sense la rotació adicional al voltant d'un atre eix; açò és també possible en l'eix vertical perpendicular al pla.

L'experiment pot ser realisat en qualsevol objecte que tinga tres moments diferents d'inèrcia, com un llibre, un mòvil o un control remot. L'efecte ocorre sempre que l'eix de rotació diferix llaugerament del segon eix principal de l'objecte; la resistència d'aire o la gravetat no són necessàries.^[3]

Teoria

La teorema de l'eix intermig pot ser analisat cualitativamente en l'ajuda de les equacions de Euler. Baixe condicions sense torque prenen la forma:

$\begin{matrix} I_{1} {\dot{ω}}_{1} & = (I_{3} - I_{2}) ω_{3} ω_{2} (1) \\ I_{2} {\dot{ω}}_{2} & = (I_{1} - I_{3}) ω_{1} ω_{3} (2) \\ I_{3} {\dot{ω}}_{3} & = (I_{2} - I_{1}) ω_{2} ω_{1} (3) \end{matrix}$

a on $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ denoten els moments principals d'inèrcia de l'objecte i $ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}$ són les velocitats angulars al voltant de cada u dels eixos principals de l'objecte i $\dot{ω_{1}}, \dot{ω_{2}}, \dot{ω_{3}}$ són els seus corresponents derivades temporals. Per als propòsits d'ilustració de la teorema suponem que $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ .

Rotació estable al voltant del primer i el tercer eix

Considerem la situació en la que l'objecte està rotando al voltant de l'eix en moment d'inèrcia $I_{1}$ . Per a determinar el comportament de la rotació, supongam velocitats angulars inicials chicotetes en els atres eixos, com a resultat, d'acort en l'equació (1), $\dot{ω_{1}}$ és molt menut, per lo que la dependecia temporal de $ω_{1}$ pot ser despreciada.

Ara, si derivem l'equació (2) i substituïm $\dot{ω_{3}}$ de l'equació (3), obtenim $\begin{matrix} I_{2} {\ddot{ω}}_{2} & = (I_{1} - I_{3}) ω_{1} {\dot{ω}}_{3} \\ I_{3} I_{2} {\ddot{ω}}_{2} & = (I_{1} - I_{3}) (I_{2} - I_{1}) (ω_{1})^{2} ω_{2} \\ \to {\ddot{ω}}_{2} & = (cantidad negativa) \cdot ω_{2} \end{matrix}$ lloc que $I_{2} - I_{1} > 0$ i $I_{1} - I_{3} < 0$ .

Note's que $ω_{2}$ s'opon a la seua variació, per lo que la rotació al voltant d'este eix és estable per al cos. Per a l'eix associat a $I_{3}$ se seguix una deducció anàloga i es conclou que la rotació també és estable.

Inestabilitat de la rotació al voltant de l'eix intermig

El mateix anàlisis previ es pot fer per a l'eix intermig $I_{2}$ . Considerem que ${\dot{ω}}_{2}$ és menut, per tant la dependència temporal de $ω_{2}$ pot ser despreciada. Ara, derivant l'equació (1) i substituint $\dot{ω_{3}}$ de l'equació (3),

$\begin{matrix} I_{1} I_{3} {\ddot{ω}}_{1} & = (I_{3} - I_{2}) (I_{2} - I_{1}) (ω_{2})^{2} ω_{1} \\ \to {\ddot{ω}}_{1} & = (cantidad positiva) \cdot ω_{1} \end{matrix}$ Ara l'acceleració de $ω_{1}$ és positiva, per lo que la velocitat angular aumenta i la rotació al voltant del segon eix és inestable. Aixina, qualsevol chicotet destorbament a lo llarc dels atres eixos provoca que el cos faça un gir adicional inesperat.

Archiu:Intersecting ellipsoids.gif

Una visualisació de l'inestabilitat de l'eix intermig. La magnitut del moment angular i l'energia cinètica d'un objecte en rotació es conserven. Com a resultat, el vector velocitat angular es manté en l'intersecció de dos elipsoide.

Vore també

Referències

↑ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991). “The Twisting Tennis Racket”. Journal of Dynamics and Differential Equations 3: 67–85. doi:10.1007/BF01049489. Bibcode: 1991JDDE....3...67A.
↑ Understanding the Dzhanibekov Effect (in (en-GB)).
↑ Mark Levi (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction, pp. 151–152.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teorema del eje intermedio» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991). “The Twisting Tennis Racket”. Journal of Dynamics and Differential Equations 3: 67–85. doi:10.1007/BF01049489. Bibcode: 1991JDDE....3...67A.

[2] Understanding the Dzhanibekov Effect (in (en-GB)).

[3] Mark Levi (2014). Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction, pp. 151–152.

[1]

[2]

[3]