Dodecaedre biselado

En geometria, el dodecaedre biselado (també denominat dodecaedre achaflanado o triacontaedro ròmbic truncat) és un politopo convexo en 80 vèrtiços, 120 arestes i 42 cares: 30 hexàgons i 12 pentàgons. Està construït com l'achaflanado (truncació d'arestes) d'un dodecaedre regular. Els pentàgons es reduïxen de tamany i s'afigen noves cares hexagonals en lloc de totes les arestes originals. El seu dual és el pentaquis icosidodecaedro.

També se li crida triacontaedro ròmbic truncat, construït com el truncat del triacontaedro ròmbic. Se li pot cridar en major precisió un triacontaedro ròmbic truncat d'orde 5 perque solament els vèrtiços d'orde 5 estan truncats.

Estructura

Estos 12 vèrtiços d'orde 5 es poden truncar de modo que totes les raistas tinguen la mateixa llongitut. Les 30 cares ròmbiques originals es convertixen en hexàgons no regulars i els vèrtiços truncats es convertixen en pentàgons regulars.

Les cares de l'hexàgon poden ser equiláteras pero no regulars, en simetria D₂. Els ànguls en els dos vèrtiços en configuració de vèrtiços 6.6.6 medixen $\arccos \left(\frac{-1}{\sqrt{5}}\right)=116.565^{\circ }$ i en els quatre vèrtiços restants en disposició 5.6.6, medixen 121.717° cada u.

És el poliedre de Goldberg G_V(2,0), que conté cares pentagonals i hexagonals.

També representa la envolvente exterior de la proyecció ortogonal centrada en una cela del 120-celes, un dels sis 4-politopos regulars convexos.

Química

Esta és la forma del fullereno C₈₀; per lo que a voltes esta forma es denomina C₈₀(I_h) per a descriure la seua simetria icosaédrica i distinguir-la d'atres fullerenos de 80 vèrtiços pero menys simètrics. És un dels quatre fullerenos trobats per Deza, Deza y Grishukhin (1998) que tenen un esquelet que pot ser incrustable isométricamente en un espai L₁.

Erro al crear miniatura:

Dodecaedre biselado

Poliedres relacionats

Este poliedre s'assembla molt al icosaedre truncat uniforme, que conta en 12 pentàgons pero tan sol en 20 hexàgons.

• 
  Triacontaedro ròmbic truncat
  G(2,0)
• 
  Icosaedre truncat
  G(1,1)
• 
  Proyecció ortogonal centrada en cela del 120-celes

A partir del dodecaedre biselado es poden generar més poliedres per mig de les operacions descrites segons la notació de poliedres de Conway bàsica. El dodecaedre achaflanado en cremallera forma un icosaedre truncat achaflanado, que també correspon al poliedre de Goldberg (2,2).

Poliedres dodecaédricos biselados

llavor	ambo	truncat	cremallera	expandit	bisell	romo	cantonada	mola
cD= G(2,0) cD	acD acD	tcD tcD	zcD= G(2,2) zcD	ecD ecD	bcD bcD	Erro al crear miniatura: scD scD	Erro al crear miniatura: ccD= G(4,0) ccD	Erro al crear miniatura: wcD= G(4,2) wcD
dual	unió	agulla	n-plicado	orto	medial	gire	cantonada dual	mola dual
Erro al crear miniatura: dcD dcD	Erro al crear miniatura: jcD jcD	Erro al crear miniatura: ncD ncD	Erro al crear miniatura: kcD kcD	Erro al crear miniatura: ocD ocD	Erro al crear miniatura: mcD mcD	Erro al crear miniatura: gcD gcD	Erro al crear miniatura: dccD dccD	Erro al crear miniatura: dwcD dwcD

Icosaedre truncat biselado

Icosaedre truncat biselado
Erro al crear miniatura:
Poliedre de Goldberg	GV(2,2)= {5+,3}2,2
Notació de Conway	ctI
Fullereno	C240
Cares	12 pentàgons 110 hexàgons (3 tipos)
Arestes	360
Vèrtiços	240
Simetria	Ih, [5,3], (*532)
Dual	Hexapentaquis dodecaedre biselado
Propietats	Convexo

En geometria, el icosaedre truncat biselado és un poliedre convexo que conta en 240 vèrtiços, 360 arestes i 122 cares, (110 hexàgons i 12 pentàgons).

Es construïx per mig d'una operació de achaflanado sobre un icosaedre truncat, agregant nous hexàgons en lloc de les arestes originals. També es pot construir com una operació cremallera zip (= dk = dual del n-plicado de) a partir del dodecaedre biselado. En atres paraules, elevar piràmides pentagonals i hexagonals sobre un dodecaedre achaflanado (operació n-plicado o kis) produirà un poliedre geodèsic (2,2). Prenent el dual d'este últim s'obté el poliedre de Goldberg (2,2), que és l'icosaedre truncat achaflanado, i també és el fullereno C₂₄₀.

Dual

El seu dual, el hexapentaquis dodecaedre biselado, té 240 cares triangulars (agrupades en 60 (blaves), 60 (roges) al voltant de 12 vèrtiços de simetria quíntuple i 120 al voltant de 20 vèrtiços de simetria séxtuple), 360 arestes, i 122 vèrtiços.

Erro al crear miniatura:
Hexapentaquis dodecaedre biselado

Referències

Bibliografia

• “Fullerenes and coordination polyhedra versus half-cube embeddings” . Discrete Mathematics 192 (1–3): 41–80. doi:10.1016/S0012-365X(98)00065-X.
• Goldberg, Michael (1937). “A class of multi-symmetric polyhedra”. Tohoku Mathematical Journal 43: 104–108.

• Hart, George (2012). «Goldberg Polyhedra», Shaping Space, 2nd edició, Springer, pp. 125–138. doi:10.1007/978-0-387-92714-5_9. ISBN 978-0-387-92713-8.
• Hart, George. «Mathematical Impressions: Goldberg Polyhedra». Simons Science News.