Coordenades esferoidals oblatas

Erro al crear miniatura:

Figura 1: Isosuperficies de coordenades per a un punt P (mostrat com una esfera negra) en coordenades esferoidals oblatas (μ, ν, φ). L'eix z és vertical i els focs estan en ±2. L'esferoide oblato roig (esfera aplanada) correspon a μ= 1, mentres que el semihiperboloide blau correspon a ν= 45°. L'azimut φ= −60° medix l'àngul diedro entre el semiplano vert xz i el semiplano groc que inclou el punt P. Les coordenades cartesianas de P són aproximadament (1.09, −1.89, 1.66)

Les coordenades esferoidals oblatas (també denominades achatadas) són un sistema de referència tridimensional ortogonal, que resulta de rotar un sistema de coordenades elíptiques bidimensional sobre l'eix no focal de la elipse, és dir, l'eix de simetria que separa els focs. D'esta manera, els dos focs es transformen en un anell de radi $a$ en el pla x-i. (La rotació sobre l'atre eix produïx un sistema de coordenades esferoidals prolatas.) Les coordenades esferoidals oblatas també poden considerar-se com un case llímit de les coordenades elipsoidales en el que els dos semieixos majors tenen la mateixa llongitut.

Solen ser útils per a resoldre equacions en derivades parcials quan les condicions de contorn es definixen en un esferoide o en un hiperboloide de revolució. Per eixemple, varen eixercitar un paper important en el càlcul dels factors de fricció de Perrin, lo que va contribuir a la concessió del Premi Nobel de Física de 1926 a Jean Perrin. Estos factors de fricció determinen la difusió rotacional de les molècules, lo que afecta a la viabilitat de moltes tècniques com l'espectroscòpia per mig de resonància magnètica nuclear de proteïnes i de les quals es pot inferir el volum hidrodinàmic i la forma de les molècules. Les coordenades esferoidals oblatas també són útils en problemes d'electromagnetisme (com per eixemple, per a analisar la constant dielèctrica de molècules achatadas carregades), acústica (per eixemple, en l'estudi de la dispersió del sò a través d'un orifici circular), dinàmica de decorreguts (per eixemple, per a modelizar el fluix d'aigua a través de la filtre d'una mànega contra incendis) i la difusió de materials i de la calor (per eixemple, en el cas del refredat d'una moneda al roig viu en un bany d'aigua).

Definició (µ,ν,φ)

Erro al crear miniatura:

Figura 2: Representació gràfica de les coordenades esferoidals oblatas μ i ν en el pla x-z, a on φ és zero i a és igual a un. Les curves de constant μ formen elipses roges, mentres que les de constant ν formen semihipérbolas cian en este pla. L'eix z discorre verticalment i separa els focs; les coordenades z i ν sempre tenen el mateix signe. Les superfícies de constants μ i ν en tres dimensions s'obtenen per rotació al voltant de l'eix z, i són les superfícies roja i blava, respectivament, en la Figura 1

La definició més comuna de les coordenades esferoidals oblatas $(\mu ,\nu ,\phi )$ és

$\begin{array}{cc}x& =a\cosh \mu \cos \nu \cos \phi \\ y& =a\cosh \mu \cos \nu \sin \phi \\ z& =a\sinh \mu \sin \nu \end{array}$

a on $\mu$ és un número real no negatiu i l'àngul $\nu \in [-\pi /2,\pi /2]$. L'àngul assimutal $\phi$ pot caure en qualsevol lloc d'un círcul complet, entre $\pm \pi$. Estes coordenades es preferixen sobre les alternatives a continuació perque no són degeneradas. El conjunt de coordenades $(\mu ,\nu ,\phi )$ descriu un únic punt en coordenades cartesianas $(x,y,z)$. Lo invers també és cert, llevat en l'eix $z$ i en el disc situat en el pla $xy$ dins de l'anell focal.

Superfícies de coordenades

Les superfícies de µ constant formen esferoides oblatos, segons l'identitat trigonométrica

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{z^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

ya que són elipses rotadas sobre l'eix z que separa els seus focs. Una elipse en el pla x-z (Figura 2) té un semieix major de llongitut a cosh µ en l'eix x, mentres que la seua semieix menor té llongitut a sinh µ en l'eix z. Els focs de totes les elipse en el pla x-z estan ubicats en l'eix x en ±a.

De manera similar, les superfícies de ν constant formen semi-hiperboloides de revolució d'un sol full per l'identitat trigonométrica hiperbòlica

$\frac{x^2+y^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{z^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

Per a ν positiu, el semi-hiperboloide està per damunt del pla x-i (és dir, té z positiva) mentres que per a ν negatiu, el semi-hiperboloide està per baix del pla x-i (és dir, té z negativa). Geomètricament, l'àngul ν correspon a l'àngul de les asíntotes de l'hipérbola. Els focs de totes les hipérboles estan ubicats de la mateixa manera en l'eix x en ±a.

Transformació inversa

Les coordenades (μ, ν, φ) poden calcular-se a partir de les coordenades cartesianas (x, i, z) de la següent manera. L'àngul assimutal φ s'obté per mig de la fòrmula

$\tan \phi =\frac{y}{x}$

El radi cilíndric ρ del punt P s'obté per mig de

${\rho }^2=x^2+y^2$

i les seues distàncies als focs en el pla definit per φ s'obtenen per mig de

$\begin{array}{c}{d}_1^2=(\rho +a{)}^2+z^2\\ d_2^2=(\rho -a{)}^2+z^2\end{array}$

Les coordenades restants µ i ν es poden calcular a partir de les equacions

$\begin{array}{cc}\cosh \mu & =\frac{d_1+d_2}{2a}\\ \cos \nu & =\frac{d_1-d_2}{2a}\end{array}$

a on el signe de µ sempre és no negatiu i el signe de ν és el mateix que el de z.

Un atre método per a calcular la transformada inversa és

$\begin{array}{cc}\mu & =\mathrm{Re}\mathrm{arcosh}\frac{\rho +zi}{a}\\ \nu & =\mathrm{Im}\mathrm{arcosh}\frac{\rho +zi}{a}\\ \phi & =\arctan \frac{y}{x}\end{array}$

a on :$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$; $\mathrm{IM}$ és l'operador partix imaginària; i $\mathrm{Re}$ és l'operador partix real.

Factors d'escala

Els factors d'escala per a les coordenades μ i ν són iguals

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$

mentres que el factor d'escala assimutal és igual a

$h_{\phi }=a\cosh \mu \cos \nu$

En conseqüència, un element de volum infinitesimal és igual a

$dV=a^3\cosh \mu \cos \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\phi$

i el laplaciano es pot escriure com

${\mathrm{\nabla }}^2\Phi =\frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{1}{\cosh \mu }\frac{\partial }{\partial \mu }(\cosh \mu \frac{\partial \Phi }{\partial \mu })+\frac{1}{\cos \nu }\frac{\partial }{\partial \nu }(\cos \nu \frac{\partial \Phi }{\partial \nu })]+\frac{1}{a^2{\cosh }^2\mu {\cos }^2\nu }\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\varphi }^2}$

Atres operadors diferencials com $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ i $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ es poden expressar en les coordenades (μ, ν, φ) substituint els factors d'escala en les fòrmules generals que es troben en coordenades ortogonals.

Vectores base

Els vectores base ortonormals per al sistema de coordenades $\mu ,\nu ,\phi$ es poden expressar en coordenades cartesianas com

$\begin{array}{cc}{\hat{e}}_{\mu }& =\frac{1}{\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }}(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi \widehat{𝒊}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi \widehat{𝒋}+\cosh \mu \sin \nu \widehat{𝒌})\\ {\hat{e}}_{\nu }& =\frac{1}{\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }}(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi \widehat{𝒊}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi \widehat{𝒋}+\sinh \mu \cos \nu \widehat{𝒌})\\ {\hat{e}}_{\phi }& =-\sin \phi \widehat{𝒊}+\cos \phi \widehat{𝒋}\end{array}$

a on $\widehat{𝒊},\widehat{𝒋},\widehat{𝒌}$ són els vectores unitaris cartesianos. Ací, ${\hat{e}}_{\mu }$ és el vector normal extern a la superfície esferoidal oblata de $\mu$ constant, ${\hat{e}}_{\phi }$ és el mateix vector unitari assimutal de coordenades esfèriques i ${\hat{e}}_{\nu }$ es troba en el pla tangente a la superfície esferoidal oblata i completa el conjunt d'una base dextrógira.

Definició (ζ, ξ, $\phi$)

A voltes s'utilisa un atre conjunt de coordenades esferoidals oblatas, $(\zeta ,\xi ,\phi )$, a on $\zeta =\sinh \mu$ i $\xi =\sin \nu$ (Smythe 1968). Les superfícies de $\zeta$ constant són esferoides oblatos i les curves de $\xi$ constant són els hiperboloide de revolució. La coordenada $\zeta$ està restringida per $0\le \zeta <\mathrm{\infty }$ i $\xi$ està restringida per $-1\le \xi <1$.

La relació en les coordenades cartesianas és

$\begin{array}{c}x=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\cos \phi \\ y=a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\sin \phi \\ z=a\zeta \xi \end{array}$

Factors d'escala

Els factors d'escala per a $(\zeta ,\xi ,\phi )$ són:

$\begin{array}{cc}{h}_{\zeta }& =a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1+{\zeta }^2}}\\ h_{\xi }& =a\sqrt{\frac{{\zeta }^2+{\xi }^2}{1-{\xi }^2}}\\ h_{\phi }& =a\sqrt{(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\end{array}$

Coneixent els factors d'escala, es poden calcular vàries funcions de les coordenades per mig del método general descrit en l'artícul dedicat a les coordenades ortogonals. L'element de volum infinitesimal és:

$dV=a^3({\zeta }^2+{\xi }^2)d\zeta d\xi d\phi$

El gradient és:

$\mathrm{\nabla }V=\frac{1}{h_{\zeta }}\frac{\partial V}{\partial \zeta }\hat{\zeta }+\frac{1}{h_{\xi }}\frac{\partial V}{\partial \xi }\hat{\xi }+\frac{1}{h_{\phi }}\frac{\partial V}{\partial \phi }\hat{\phi }$

La divergència és:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{1}{a({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left(\sqrt{1+{\zeta }^2}\sqrt{{\zeta }^2+{\xi }^2}{F}_{\zeta }\right)+\frac{\partial }{\partial \xi }\left(\sqrt{1-{\xi }^2}\sqrt{{\zeta }^2+{\xi }^2}{F}_{\xi }\right)\}+\frac{1}{a\sqrt{1+{\zeta }^2}\sqrt{1-{\xi }^2}}\frac{\partial F_{\phi }}{\partial \phi }$

i el laplaciano és igual a

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{1}{a^2({\zeta }^2+{\xi }^2)}\{\frac{\partial }{\partial \zeta }\left[(1+{\zeta }^2)\frac{\partial V}{\partial \zeta }\right]+\frac{\partial }{\partial \xi }\left[(1-{\xi }^2)\frac{\partial V}{\partial \xi }\right]\}+\frac{1}{a^2(1+{\zeta }^2)(1-{\xi }^2)}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\phi }^2}$

Harmònics esferoidals oblatos

{VT|Funció d'ona esferoidal oblata}}

Com succeïx en les coordenades esfèriques i els harmònics esfèrics, l'equació de Laplace pot resoldre's pel método de separació de variables per a obtindre solucions en forma de harmònics esferoidals oblatos, l'us dels quals és convenient quan les condicions de contorn es definixen en una superfície en una coordenada esferoidal oblata constant.

Seguint la tècnica del método de separació de variables, s'escriu una solució per a l'equació de Laplace:

$V=Z(\zeta )\Xi (\xi )\Phi (\phi )$

Açò produïx tres equacions diferencials separades en cada una de les variables:

$\begin{array}{c}\frac{d}{d\zeta }[(1+{\zeta }^2)\frac{dZ}{d\zeta }]+\frac{m^{2}Z}{1+{\zeta }^2}-n(n+1)Z=0\\ \frac{d}{d\xi }[(1-{\xi }^2)\frac{d\Xi }{d\xi }]-\frac{m^2\Xi }{1-{\xi }^2}+n(n+1)\Xi =0\\ \frac{d^2\Phi }{d{\phi }^2}=-m^2\Phi \end{array}$

a on m és una constant que és un sancer perque la variable φ és periòdica, en un periodo de 2π. En conseqüència, n serà llavors un sancer. La solució per a estes equacions és:

$\begin{array}{cc}{Z}_{mn}& =A_1{P}_n^m(i\zeta )+A_2{Q}_n^m(i\zeta )\\ {\Xi }_{mn}& =A_3{P}_n^m(\xi )+A_4{Q}_n^m(\xi )\\ {\Phi }_m& =A_5{e}^{im\phi }+A_6{e}^{-im\phi }\end{array}$

a on $A_i$ són constants i $P_n^m(z)$ i $Q_n^m(z)$ són polinomis associats de Legendre de primer i segon tipo respectivament. El producte de les tres solucions es denomina harmònic esferoidal oblato i la solució general de l'equació de Laplace s'escriu:

$V=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{Z}_{mn}(\zeta ){\Xi }_{mn}(\xi ){\Phi }_m(\phi )$

Les constants es combinaran per a produir solament quatre constants independents per a cada harmònic.