Coordenades esferoidals prolatas

Les coordenades esferoidals prolatas (també denominades allargades) són un sistema de referència tridimensional ortogonal que resulta de rotar un sistema de coordenades elíptiques bidimensional al voltant de l'eix focal de la elipse, és dir, respecte l'eix de simetria en el que es troben els focs. La rotació al voltant de l'atre eix produïx un sistema de coordenades esferoidals oblatas. Les coordenades esferoidals prolatas també poden considerar-se com un case llímit de coordenades elipsoidales en les que els dos eixos principals més menuts tenen la mateixa llongitut.

Erro al crear miniatura:

Les tres superfícies coordenades del sistema de coordenades esferoidals prolatas. L'esferoide allargat roig (esfera estirada) correspon a μ = 1, i l'hiperboloide de dos fulls blau correspon a ν = 45°. El semiplano groc correspon a φ = −60°, que es medix en relació en l'eix x (resaltat en vert). L'esfera negra representa el punt d'intersecció de les tres superfícies, que té unes coordenades cartesianas d'aproximadament (0.831, −1.439, 2.182)

Les coordenades esferoidals prolatas poden usar-se per a resoldre equacions en derivades parcials en els que les condicions de contorn coincidixen en la seua simetria i forma, com resoldre un camp produït per dos centres, que es prenen com els focs en l'eix z. Un eixemple és resoldre la funció d'ona d'un electró que es mou en el camp electromagnètic de dos núcleus en càrrega positiva, com en el catión dihidrógeno, H₂⁺. Un atre eixemple és modelizar el camp elèctric generat per dos puntes chicotetes d'electrodo. Atres casos llímit inclouen àrees generades per un segment de llínea (µ = 0) o una llínea en un segment faltante (ν=0). L'estructura electrònica de molècules diatómiques generals en molts electrons també es pot resoldre en excelent precisió en el sistema de coordenades esferoidals prolatas.

Definició

Erro al crear miniatura:

Coordenades esferoidals prolatas μ and ν para a = 1. Les llínees de valors iguals de μ i μ es mostren en el pla xz, és dir, per a φ = 0. Les superfícies de valors constants μ i ν s'obtenen per rotació al voltant de l'eix z, de modo que el diagrama és vàlit per a qualsevol pla que continga l'eix z: és dir, per a qualsevol φ

La definició més comuna de les coordenades esferoidals prolatas $(\mu ,\nu ,\phi )$ és

$x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \phi$

$y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \phi$

$z=a\cosh \mu \cos \nu$

a on $\mu$ és un número real no negatiu i $\nu \in [0,\pi ]$. L'àngul assimutal $\phi$ pertany a l'interval $[0,2\pi ]$.

L'identitat trigonométrica

$\frac{z^2}{a^2{\cosh }^2\mu }+\frac{x^2+y^2}{a^2{\sinh }^2\mu }={\cos }^2\nu +{\sin }^2\nu =1$

mostra que les superfícies de $\mu$ constant formen esferoides prolatos, ya que són elipses rotadas sobre l'eix que unix els seus focs. De manera similar, l'identitat trigonométrica hiperbòlica

$\frac{z^2}{a^2{\cos }^2\nu }-\frac{x^2+y^2}{a^2{\sin }^2\nu }={\cosh }^2\mu -{\sinh }^2\mu =1$

mostra que les superfícies de $\nu$ constant formen hiperboloides de revolució.

Les distàncies des dels focs ubicats en $(x,y,z)=(0,0,\pm a)$ són

$r_{\pm }=\sqrt{x^2+y^2+(z\mp a{)}^2}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).$

Factors d'escala

Els factors d'escala per a les coordenades elíptiques $(\mu ,\nu )$ són iguals

$h_{\mu }=h_{\nu }=a\sqrt{{\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu }$

mentres que el factor d'escala assimutal és

$h_{\phi }=a\sinh \mu \sin \nu ,$

lo que dona com resultat la mètrica

$\begin{array}{cc}d{s}^2& =h_{\mu }^{2}d{\mu }^2+h_{\nu }^{2}d{\nu }^2+h_{\phi }^{2}d{\phi }^2\\ & =a^2[({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d{\mu }^2+({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d{\nu }^2+({\sinh }^2\mu {\sin }^2\nu )d{\phi }^2].\end{array}$

En conseqüència, un element de volum infinitesimal és igual a

$dV=a^3\sinh \mu \sin \nu ({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )d\mu d\nu d\phi$

i el laplaciano pot escriure's com

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}^2\Phi =& \frac{1}{a^2({\sinh }^2\mu +{\sin }^2\nu )}[\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\mu }^2}+\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\nu }^2}+\coth \mu \frac{\partial \Phi }{\partial \mu }+\cot \nu \frac{\partial \Phi }{\partial \nu }]\\ & +\frac{1}{a^2{\sinh }^2\mu {\sin }^2\nu }\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\phi }^2}\end{array}$

Atres operadors diferencials com $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ i $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ poden expressar-se en les coordenades $(\mu ,\nu ,\phi )$ substituint els factors d'escala en les fòrmules generals que es troben en l'artícul dedicat a les coordenades ortogonals.