Constant de propagació

La constant de propagació d'una ona electromagnètica sinusoidal és una mida del canvi experimentat per l'amplitut i la fase de l'ona a mida que es propaga en una direcció donada. La cantitat medida pot ser el voltage, la corrent en un circuit, o un vector de camp com l'intensitat de camp elèctric o la densitat de fluix. La constant de propagació medix el canvi adimensional en magnitut o fase per unitat de llongitut. En el context de rets de dos ports i les seues cascades, la constant de propagació medix el canvi experimentat per la cantitat font a mida que es propaga d'un port al següent.

El valor de la constant de propagació s'expressa logarítmicamente, casi universalment en base i, en lloc de la base 10 que s'usa en telecomunicacions en atres situacions. La cantitat medida, com el voltage, s'expressa com un fasor sinusoidal. La fase del sinusoide varia en la distància, lo que resulta que la constant de propagació siga un número complex, sent la part imaginària causada pel canvi de fase.

Noms alternatius

El terme «constant de propagació» és alguna cosa enganyós, ya que sol variar fortament en ω. És provablement el terme més utilisat, pero hi ha una gran varietat de noms alternatius usats per diversos autors per a esta cantitat. Estos inclouen «paràmetro de transmissió», «funció de transmissió», «paràmetro de propagació», «coeficient de propagació» i «constant de transmissió». Si s'usa el plural, sugerix que α i β s'estan referenciando per separat pero colectivament, com en «paràmetros de transmissió», «paràmetros de propagació», etc. En la teoria de llínees de transmissió, α i β es conten entre els «coeficients secundaris», sent el terme «secundari» usat per a contrastar en les constants de llínea primària. Els coeficients primaris són les propietats físiques de la llínea, a saber, R, C, L i G, dels quals els coeficients secundaris poden derivar-se usant l'equació del telegrafista. En l'àmbit de les llínees de transmissió, el terme coeficient de transmissió té un significat diferent a pesar de la similitut del nom: és el companyer del coeficient de reflexió.

Definició

La constant de propagació, símbol γ, per a un sistema donat es definix per la relació entre l'amplitut complexa en la font de l'ona i l'amplitut complexa a certa distància x, de manera que:

$\frac{A_0}{A_x}=e^{\gamma x}.$

En invertir l'equació anterior i aïllar γ, s'obté el cocient del logaritme natural de la relació d'amplitut complexa dividit per la distància x recorreguda:

$\gamma =\ln \left(\frac{A_0}{A_x}\right)/x$

Ya que la constant de propagació és una cantitat complexa, podem escriure:

Erro al representar (Erro de conversió. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informà: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta \ }

a on

• α, la part real, es diu la constant d'atenuació
• β, la part imaginària, es diu la constant de fase
• $i\equiv j\equiv \sqrt{-1}$; el símbol j és més típic en ingenieria elèctrica i electrònica.

Que β representa efectivament la fase pot vore's en la fòrmula de Euler:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

que és un sinusoide que varia en fase a mida que θ varia, pero no varia en amplitut perque:

$\left|e^{i\theta }\right|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$

La raó per a usar la base i també queda clara ara. La constant de fase imaginària, iβ, pot sumar-se directament a la constant d'atenuació, α, per a formar un sol número complex que pot manejar-se en una operació matemàtica, sempre que estiguen en la mateixa base. Per a aplegar a radianes es requerix la base i, i de manera similar, per a aplegar a nepers per a l'atenuació també es requerix la base i.

La constant de propagació per a llínees conductores pot calcular-se a partir dels coeficients primaris de la llínea per mig de la relació:

$\gamma =\sqrt{ZY}$

a on

$Z=R+i\omega L$ és l'impedència en série de la llínea per unitat de llongitut i,

$Y=G+i\omega C$ és l'admitancia en paralel de la llínea per unitat de llongitut.

Ona plana

El factor de propagació d'una ona plana que viaja en un mig llineal en la direcció x està donat per: $$P=e^{-\gamma x}$$ a on

• $\gamma =\alpha +i\beta =\sqrt{i\omega \mu (\sigma +i\omega \epsilon )}$
• $x$: distància recorreguda en la direcció x
• $\alpha$: constant d'atenuació (unitat SI: neper/metro)
• $\beta$: constant de fase (unitat SI: radián/metro)
• $\omega$: freqüència angular (unitat SI: radián/segon)
• $\sigma$: conductivitat del mig
• $\epsilon ={\epsilon }^{\prime }-i{\epsilon }^{″}$: permitividad complexa del mig
• $\mu ={\mu }^{\prime }-i{\mu }^{″}$: permeabilidad complexa del mig
• $i$: l'unitat imaginària

La convenció de signes s'elegix per a consistència en la propagació en mijos en pèrdues. Si la constant d'atenuació és positiva, llavors l'amplitut de l'ona disminuïx a mida que l'ona es propaga en la direcció x.

La llongitut d'ona, la velocitat de fase i la profunditat de penetració tenen relacions simples en els components de la constant de propagació: $$\lambda =\frac{2\pi }{\beta }{v}_p=\frac{\omega }{\beta }\delta =\frac{1}{\alpha }$$