Circumferències ortogonals

Archiu:Orthogonal circles.svg

Tres circumferències ortogonals entre sí: els sis parells de tangentes en els seus punts d'intersecció, són perpendiculars entre sí (en l'image, solament s'han marcat tres dels sis punts d'intersecció)

En geometria, es diu que dos circumferèncias són ortogonals si les seues respectives rectes tangentes en els punts d'intersecció són perpendiculars (és dir, es intersecan formant un àngul recte).

Una llínea recta que passa pel centre d'una círcnferencia és ortogonal a est, i si les llínees rectes també es consideren un tipo de circumferència generalisada, per eixemple, en la geometria inversiva, llavors un parell de llínees rectes ortogonals, o una circumferència i una llínea recta que passa pel seu centre, són circumferències generalisades ortogonals entre sí.

En el model del disc conforme de la geometria hiperbòlica, cada llínea geodèsica és un arc d'una circumferència generalisada ortogonal a la circumferència del punt ideal que delimita el disc.

Propietats

En geometria, es diu que dos circumferèncias que es intersecan en un pla són ortogonals si en cada u dels dos punts d'intersecció les tangentes en una i en l'atra circumferència són ortogonals. Per raons de simetria, n'hi ha prou en que la propietat anterior es done en un dels dos punts d'intersecció. Per una atra part, cada una de les tangentes abans mencionades a una de les circumferències passa pel centre de l'atra.

Archiu:Cercles orthogonaux.png

La figura formada pels dos centres O, O´ i un dels dos punts d'intersecció és un triàngul rectàngul. Pel teorema de Pitágoras, resulta la relació entre els dos radis i la distància entre els centres: OO' ² = R ² + R' ².

Pel contrari, si dos circumferències es intersecan i verifiquen esta relació, llavors són ortogonals entre sí.

Per a que dos circumferències siguen ortogonals és necessari i suficient que existixca un diàmetro d'una d'elles que siga dividit armónicamente per l'atre. De fet, la potencia d'O sobre la circumferència (c') és OA² = OP' × OQ'. Per lo tant, es té que OP² = O²X = OP' × OQ'.

La cuaterna [P, Q, P', Q'] forma una divisió harmònica segons la relació de Newton.

Aplicació: donada una circumferència (c) i un punt M, distint del centre O i no pertanyent a la circumferència, per a trobar les circumferències ortogonals a (c) que passen per M, n'hi ha prou en traçar el diàmetro [PQ] sobre la recta (OM) i trobar el punt M' tal que [P, Q, M, M'] siga una cuaterna harmònica:
$O{M}^{\prime }=\frac{R^2}{OM}$.
Qualsevol circumferència que passe per M i M', centrada en la bisectriz perpendicular de [MM'], és ortogonal a (c).
El conjunt de circumferències que passen per M i són ortogonals a (c), és un fes de circumferències en punts base M i M'.

Circumferència ortogonal a tres circumferències (en centres no alineats)

És la circumferència, cridat antigament a voltes «circumferència ortotómica», el centre de la qual O és el centre radical de les tres circumferències i el radi de les quals és igual a la raïl de la potencia p del punt O sobre una de les tres circumferència. Si O està dins de les circumferències, p és negatiu, el problema no té solució en el pla mètric real.

Archiu:Cercle ortho 3 cercles.png

Fas ortogonals

Archiu:Faisceaux orthogonaux.png

Donades dos circumferències no concèntriques (c) i (c₁), existixen infinites circumferències (γ) ortogonals a (c) i (c₁), que també són ortogonals a tots els círculs del fes determinat per (c) i (c₁).

Les circumferències (γ) ortogonals a les circumferències (c) d'un fes F formen un fes Φ conjugat de F. L'eix radical d'un dels fas és la llínea recta dels centres de l'atre.
Si un dels fas està format per circumferències tangentes, l'atre també ho està. De lo contrari, si un dels fas té punts base, l'atre té punts llímit i existix una identitat entre estos parells de punts.

Vore també

• Ortogonalidad (matemàtica)
• Eix radical
• Centre radical
• Circumferència de Apolonio
• Coordenades bipolars

Bibliografia

• «College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle».Barnes & Noble.

§§ 263–272 (174–177).

• «Geometry Revisited».MAA.
• «Necessary and sufficient conditions for orthogonal circles».International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.53

2837–2848.doi:10.1080/0020739X.2021.1945153.