Arguments del màxim i el mínim

Com a eixemple, les funcions sinc normalisades i sense normalisar ací dalt tenen un arg max de {0}, perque abdós alcancen el seu valor global màxim d'1 en $x=0$.

La funció sinc sense normalisar (roja) té un arg min d'aproximadament {-4.49; 4.49}, perque té dos valors globals mínims d'aproximadament -0.217 en $x=\pm 4.49$. No obstant, la funció sinc normalisada (blava) té un arg min de {-1.43; 1.43} aproximadament, ya que el seu mínim global ocorre en $x=\pm 1.43$, encara que el valor mínim siga el mateix.

En matemàtiques, els arguments del màxim i el mínim (abreviats com arg max/argmax; arg min/argmin) són els punts del domini d'una funció en la qual els valors de la funció són maximizar o minimisats. En contrast al màxim global, referint-se a les eixides més grans, el arg max es referix a les entrades o arguments en que les eixides de la funció són lo més grans possible.

Definició

Donada una funció $f:X\to Y$, el arg max sobre un subconjunt $S$ de $X$ està definit per

$\underset{x\in S\subseteq X}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x):=\{x\mid x\in S\wedge \mathrm{\forall }y\in S:f(y)\le f(x)\}.$

Si $S=X$ o $S$ és rebujat del context, llavors $S$ és comunament deixat fòra, com en $\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x):=\{x\mid \mathrm{\forall }y:f(y)\le f(x)\}.$ En atres paraules, el arg max és el conjunt de punts $x$ para com $f(x)$ alcança el valor més gran de la funció, és el conjunt format per números de l'eix de les x en que la derivada en ells és 0. D'una atra manera el conjunt de les abscisses dels extrems relatius. El max és el valor de l'ordenada per a l'extrem relatiu en major valor d'i. Arg max pot ser un conjunt buit, un conjunt unitari, o pot contindre múltiples elements. Per eixemple, si $f(x)$ és $1-|x|$, llavors $f$ alcança el seu valor màxim d'1 sí i solament si $x=0$, incloent

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(1-|x|)=\{0\}.$

L'operador del arg max és el complement natural de l'operador màxim en el qual, donada la mateixa funció, torna el valor màxim en lloc del punt o els punts que alcancen eixe valor; en atres paraules

$\underset{x}{\max }f(x)$ és l'element en $\{f(x)\mid \mathrm{\forall }y:f(y)\le f(x)\}.$

De la mateixa manera que en el arg max, el màxim pot ser un conjunt buit (en el cas del qual el màxim és indefinit) o un conjunt unitari, pero a diferència del arg max, el màxim no pot contindre múltiples elements: per eixemple, si $f(x)=4x^2-x^4$, llavors $\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(4x^2-x^4):=\{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$, pero $\underset{x}{\max }(4x^2-x^4):=\{4\}$ perque la funció alcança el mateix valor en cada element de arg max.

De la mateixa manera, si $M$ és el màxim de $f$, llavors arg máx és el conjunt de nivell del màxim:

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x)=\{x\mid f(x)=M\}=:f^{-1}(M)$

Podem simplificar açò per a donar la simple identitat

$f(\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}f(x))=\underset{x}{\max }f(x).$

Si el màxim és alcançat en un punt simple, llavors es diu a este punt com el arg max, significant que definim el arg max com un punt, no un conjunt de punts. Llavors, per eixemple,

$\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(x(10-x))=5$

(més be que el conjunt unitari és {5}), ya que el valor màxim de $x(10-x)=25$, lo que ocorre quan $x=5$. No obstant, en cas que el màxim siga alcançat en varis punts, arg max és un conjunt de punts.

Llavors tenim, per eixemple

$\underset{x\in [0,4\pi ]}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\cos (x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

ya que el valor màxim de $cos(x)$ és 1, lo que ocorre en l'interval $x=0,2\pi$ o $4\pi$. En la totalitat de la llínea real, la seua arg max és $\{0,2\pi ,-2\pi ,4\pi ,\dots \}.$

Note's que estes funcions generalment no alcancen un valor màxim, i per lo tant el arg max sol ser un conjunt buit, per eixemple, $\underset{x\in ℝ}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{x}^3=\mathrm{\varnothing }$, ya que $x^3$ és illimitat en la llínea real. No obstant, pel teorema de Weierstrass (o el clàssic argument de compacidad), una funció contínua en l'interval d'un espai compacte té un màxim i, per lo tant, un arg max que no és un conjunt buit.

Arg min

El arg min (o argmin) existix pel argument del mínim, i és definit análogamente. Per eixemple,

$\underset{x}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}f(x):=\{x\mid x\in S\wedge \mathrm{\forall }y\in S:f(y)\ge f(x)\}$

són punts de $x$ para que la seua $f(x)$ alcança el seu valor mínim. L'operador complementari és el arg max.

Vore també

• Extrems d'una funció
• Moda (estadística)
• Optimisació (matemàtica)
• Núcleu (matemàtica)