Óval

Un óval en un eix de simetria

El terme óval (del llatí ovum, ou) fa referència a una forma geomètrica convexa i redonejada, que s'assembla al perfil d'un ou d'au en el seu sentit més ampli.

Inclou a circumferèncias i elipses com a casos especials, en dos eixos de simetria en lloc de solament un o cap.

L'us del terme no sempre és consistent, en ocasions també s'usa de manera purament descriptiva. No obstant, en l'anàlisis matemàtic es pot definir formalment com un tipo de curvas planes. En este context, també es parla de curves o llínees ovalades.

Un cos convexo redonejat i tridimensional (generalment un subconjunt convexo tancat de ${ℝ}^n$) es coneix com a ovoide. En este sentit, un óval en els punts del seu interior és llavors un ovoide de dos dimensions.

En geometria proyectiva els térmens curva ovalada i ovoide (sense atendre a la seua diferenciabilidad) segons les seues condicions de convexidad, s'establixen utilisant exclusivament condicions d'incidència ("cada recta curta a un óval o ovoide en com a molt dos punts"), en lo que es definix com un conjunt quadràtic. En sentit proyectivo, un óval en el pla real requerix ademés la condició de que cap punt del seu contorn tinga curvatura nula. Tal óval és llavors la vora d'un conjunt estrictament convexo, perque no conté segments rectilíneos.

Definició formal i propietats

Óval sense eixos de simetria

La forma redonejada d'un óval és la conseqüència de que una curva tancada reunixca les condicions de suavitat i convexidad, d'acort en la següent definició:

No obstant, esta definició no comprén totes les figures geomètriques que a voltes són denominades óvals. Per eixemple, els óvals composts per diferents arcs circulares no complixen esta definició, perque la seua segona derivada no és contínua en tota la curva. Si es desija contemplar també estos casos, llavors deu prescindir-se de la condició de la suavitat de la curvatura (diferenciabilidad $C^0$ o $C^1$ en lloc de $C^2$). En conseqüència, en alguns texts la definició d'óval solament exigix la condició de convexidad. No obstant, açò té la desventaja de que la definició inclou llavors figures que a penes són percebuts en forma d'ou, tals com els polígons convexos.

Tal com s'ha definit en el requadro anterior, un óval té les següents propietats:

Archiu:Oval und geraden.svg

Óval en rectes tangente, secante i pasante

• Un óval és una curva de Jordan, és dir, no té bucles ni llaços.
• L'orientació de la curvatura d'un óval no té canvis de signe, és dir, depenent del sentit de recorregut, açò significa que la curvatura orientada per a cada punt de l'óval és sempre negativa o sempre positiva. De manera ilustrativa, açò significa que no presenta reculada ni clavills. Solament pot recórrer-se per mig d'un gir complet de 360° a l'esquerra o a la dreta.
• L'interior d'un óval és un conjunt convexo, i l'óval forma la seua vora.

• En un óval és aplicable el teorema dels quatre vèrtiços, és dir, la seua llei de curvatura presenta a lo manco quatre punts extrems.
• Si un punt de l'óval té una tangente, tot l'óval està al mateix costat de la tangente.
• Si ademés s'exigix que la curvatura de l'óval no desaparega en cap secció, és dir, que la curvatura adquirixca el valor zero com a màxim en punts aïllats, llavors la tangente anterior existix en cada punt de l'óval. Més en general: llavors, qualsevol llínea recta té en comuna en l'óval exactament dos punts (secante), un punt (tangente) o cap punt (pasante).

Eixemples i construccions

Els óvals es poden construir usant métodos completament diferents. S'obtenen varis procediments de construcció a partir de diverses tècniques de disseny de la elipse convenient modificades.

És sabut que es pot generar una elipse tallant un con en un pla (vore secció cònica). Si en lloc d'un con s'utilisa un atre cos de revolució com un hiperboloide, de l'intersecció en un pla s'obtenen diferents óvals. Una possibilitat adicional consistix en substituir en l'equació paramètrica (o en l'equació algebraica) d'una elipse, els paràmetros constants a i b (les llongituts dels semieixos) $(a\cdot \cos (t),b\cdot \sin (t))$ per les funcions $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

També es pot definir una elipse com el conjunt de punts P, per als que la suma de les distàncies als dos focs F₁ i F₂ és $(|F_{1}P|+|F_{2}P|=2a)$ constant. Si es reemplaça esta suma de les distàncies per una suma ponderada $(k_1\cdot |F_{1}P|+k_2\cdot |F_{2}P|=2a)$, el conjunt de punts forma un óval, que solament té un eix de simetria, en el que se situen un extrem romo i l'atre puntagut. Tal óval coincidix en la curva interior d'un óval cartesiano.

El método de construcció de de la Hire crea una elipse usant dos circumferències concèntriques. Si es desplaça una miqueta el centre del círcul exterior i es conserven els passos restants del procés de construcció, s'obté un (nou) óval, que posseïx un eix de simetria quan es mou el centre del círcul exterior en els eixos de la elipse. Si es mou el centre fòra dels eixos, es crea un óval sense eixos de simetria.

• 
  Construcció en circumferències concèntriques
• 
  Construcció en circumferències excèntriques
• 
  Elipse: $|F_{1}P|+|F_{2}P|=\mathrm{22,84}$
• 
  $|F_{1}P|+\mathbf{\text{𝟏.𝟒𝟑}}\cdot |F_{2}P|=\mathrm{22,84}$
• 
  Elipse: $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$
• 
  $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1-\mathrm{0,2}\cdot x}=1$

El conjunt de solucions d'una equació en dos incògnites o certs dels seus subconjunts a sovint es poden considerar com a curves en el pla. Una equació adequada produïx un óval. Si tal curva solució del sistema no és ovalada, pero té un bucle convexo, es pot crear un óval agregant un terme de correcció al bucle.

• 
  Curva elíptica: $y^2=(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)$
• 
  Superelipse: ${\left(\frac{x}{2}\right)}^4+{\left(\frac{y}{1}\right)}^4=1$
• 
  Lemniscata: $(x^2+y^2{)}^2-(x^2-y^2)=0$
• 
  Óval de Cassini: $(x^2+y^2{)}^2-(x^2-y^2)+\mathbf{\text{𝟎,𝟎𝟏}}=0$
• 
  Curva de Szegö: $x^2+y^2=e^{2\cdot x-2}$
• 
  $x^2+y^2+\mathbf{\text{𝟎,𝟎𝟐}}=e^{2\cdot x-2}$
• 
  Folium de Descartes: $x^3+y^3=3\cdot x\cdot y$
• 
  $x^3+y^3+\mathbf{\text{𝟎,𝟎𝟔}}=3\cdot x\cdot y$

Els óvals també poden estar composts per arcs i segments. No obstant, dits óvals tenen menys suavitat que la requerida en la definició anterior, perque solament verifiquen $C^1$ pero no $C^2$. Encara que encara són suaus en el sentit d'una derivada constant, ya no tenen una curvatura contínua. La curvatura és constant en les seccions, pero presenta un punt de discontinuidad en les unions dels arcs circulares o de les seccions rectes.

Archiu:Oval aus kreisboegen.svg	Archiu:Oval aus kreisboegen2.svg	Archiu:Oval aus kreisboegen3.svg	Archiu:Oval aus kreisboegen4.svg
Óvals composts d'arcs circulares i seccions rectes

Vore també

• Ovoide
• Óval de Cassini
• Óval (pla proyectivo)
• Curva elíptica
• Superelipse
• Conjunt quadràtic

Bibliografia

• Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel (1998). Elementare Differentialgeometrie mit Maple, Vieweg+Teubner Verlag, pp. 43 de 194. ISBN 9783528069919.
• Helmut Reckziegel, Markus Kriener, Knut Pawel (1998). Elementare Differentialgeometrie mit Maple, Vieweg+Teubner Verlag, pp. 43 de 194. ISBN 9783528069919.
• John A. Adam: A Mathematical Nature Walk. Princeton University Press 2009, ISBN 978-0-691-12895-5, S. 124–136

Arnold Emch: Some Properties of Closed Convex Curves in a Plane. American Journal of Mathematics, Band 35, Nr. 4 (Okt., 1913), S. 407–41 Plantilla:JSTOR

• N. Hansen Ball: On Ovals. The American Mathematical Monthly, Band 37, Nr. 7 (Aug. - Sep., 1930), S. 348–353 Plantilla:JSTOR
• Charles Hutton (1815). A Philosophical and Mathematical Dictionary. Volum 2, author, p. 141.