Óval (pla proyectivo)

Per a la definició d'un óval:
i: recta exterior,
t: recta tangente,
s: recta secante

En geometria proyectiva, un óval és un conjunt de punts en un pla, definit per les seues propietats d'incidència. Els eixemples estàndar són les còniques no degeneradas. No obstant, una cònica solament està definida en un pla pappiano, mentres que un óval pot existir en qualsevol tipo de pla proyectivo. En la bibliografia existixen molts criteris que impliquen que un óval és una cònica, pero també hi ha molts eixemples, tant infinits com finitos, d'óvals en plans pappianos que no són còniques.

Com ya s'ha mencionat, en geometria proyectiva un óval es definix per les seues propietats d'incidència, pero en atres àrees, els óvals poden definir-se per a satisfer atres criteris, com per eixemple, en geometria diferencial per mig de condicions de diferenciabilidad en el pla real.

L'anàlec de dimensions superiors d'un óval és un ovoide en un espai proyectivo.

Una generalisació del concepte d'óval és un óval abstracte, que és una estructura que no està necessàriament incrustada en un pla proyectivo. De fet, existixen óvals abstractes que no poden estar en cap pla proyectivo.

Definició d'un óval

En un pla proyectivo, un conjunt Ω de punts es denomina óval, si:

1. Qualsevol llínea recta l es troba en Ω en com a màxim dos punts, i
2. Per a qualsevol punt P ∈ Ω existix exactament una recta tangente t a P, és dir, t ∩ Ω= {P}.

Quan Plantilla:Absf= 0, la recta l és una recta exterior (o pasante); si Plantilla:Absf= 1, és una recta tangente; i si Plantilla:Absf= 2, és una recta secante.

Per a plans finitos (és dir, si el conjunt de punts és finito) es té una caracterisació més convenient:

• Per a un pla proyectivo finito de orde n (és dir, qualsevol llínea conté n + 1) punts, un conjunt Ω de punts és un óval si i solament si Plantilla:Absf= n + 1 i no tres punts són colineales (és dir, pertanyen a una llínea recta comuna).

Un conjunt de punts en un pla afí que satisfà la definició anterior es denomina óval afí.

Un óval afí és sempre un óval proyectivo en el tancament proyectivo (agregant una llínea en l'infinit) del pla afí subjacent.

Un óval també pot considerar-se com un conjunt quadràtic especial.

Eixemples

Secciones còniques

Cònica proyectiva en coordenades no homogénees: paràbola més punt en l'infinit de l'eix

Cònica proyectiva en coordenades no homogénees: hipérbola més punts en l'infinit de les asíntotes

En qualsevol pla proyectivo papiano existixen seccions còniques proyectivas no degeneradas, i qualsevol secció cònica proyectiva no degenerada és un óval. Esta afirmació es pot verificar per mig d'un càlcul senzill para qualsevol de les còniques (com paràboles o hipérbolas).

Les còniques no degeneradas són óvals en propietats especials:

• El teorema de Pascal i els seus diversos casos degenerados són vàlits.
• Existixen vàries proyectividades que deixen una cònica invariante.

Óvals que no són còniques

En l'espai coordenado real

1. Si s'unix la mitat d'una circumferència i la mitat d'una elipse suaument, s'obté un óval que no és una cònica.
2. Si es pren la representació no homogénea d'un óval que és una cònica com una paràbola més un punt en l'infinit i es reemplaça l'expressió x² per x⁴, s'obté un óval que tampoc és una cònica.

1. Si es pren la representació no homogénea d'un óval que és una cònica com una hipérbola més dos punts en l'infinit i es reemplaça l'expressió Plantilla:Sfrac per Plantilla:Sfrac, s'obté aixina mateix un óval que no és una cònica.
2. La curva implícita x⁴ + i⁴= 1 és un óval que no és una cònica.

En un pla finito d'orde parell

1. En un pla papiano finito d'orde parell, una cònica no degenerada té un núcleu (un únic punt pel que passa cada tangente), que pot intercanviar-se en qualsevol punt de la cònica per a obtindre un óval que no és una cònica.
2. Per al camp K= GF(2^m) en 2^m elements, siga

$\Omega =\{(x,y)\in K^2|y=x^{2^k}\}\cup \{(\mathrm{\infty })\}$

Per a k ∈ {2,...,m − 1} i k i m coprimos, el conjunt Ω és un óval, que no és una cònica.

Es poden trobar més eixemples finitos ideats per E. Hartmann.

Vore també

• Ovoide (geometria proyectiva)

Bibliografia

• (1998).«Projective Geometry / from foundations to applications».Cambridge University Press.
• (1966).«Études intrinsèque dones ovales.».Rend. Mat. I Appl..25(5)

333–393.

• (1998).«α-flocks and hyperovals».Geom. Dedicata.72(3)

221–246.doi:10.1023/A:1005022808718.

• (1968).«Finite geometries».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
• (1984).«The B-ovals of order q≤8».J. Combin. Theory Ser. A.36(3)

307–314.doi:10.1016/0097-3165(84)90038-4.

• (1997).«Abstract hyperovals and Hadamard designs».Australas. J. Combin..16

29–33.

• (1952).«Some remarks concerning curves of the second degree in a finite plane».Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A I. Math.-Phys..1952(134)

27.

• (1955).«Ovals in a finite projective plane».Canadian Journal of Mathematics.7

414–416.ISSN 0008-414X.doi:10.4153/CJM-1955-045-x.