Ovoide (geometria proyectiva)

Archiu:Ovoid-definition.svg

Per a la definició d'un ovoide: t recta tangente; i s recta secante

En geometria proyectiva, un ovoide és un conjunt de punts (superfície) similar a una esfera en un espai proyectivo de dimensió d ≥ 3. Eixemples simples en un espai proyectivo real són les hiperesferas (cuádricas). Les propietats geomètriques essencials d'un ovoide $𝒪$ són:

1. Qualsevol llínea recta creua a $𝒪$ com a màxim en 2 punts,
2. Les tangentes en un punt cobrixen un hiperplano (i res més), i
3. $𝒪$ no conté llínees rectes.

La propietat 2) exclou els casos degenerados (cons,...). La propietat 3) exclou superfícies reglades (hiperboloide d'una full, ...).

Un ovoide és l'anàlec espacial d'un óval en un pla proyectivo.

Un ovoide és un tipo especial de conjunt quadràtic.

Els ovoides juguen un paper essencial en la construcció d'eixemples del pla de Möbius i geometria de Möbius de dimensions superiors.

Definició d'un ovoide

• En un espai proyectivo de dimensió d ≥ 3 un conjunt $𝒪$ de punts es diu ovoide, si

(1) Qualsevol recta g es troba en $𝒪$ en com a màxim 2 punts.

En el cas de $|g\cap 𝒪|=0$, es diu recta pasante (o exterior), si $|g\cap 𝒪|=1$ llavors és una recta tangente, i si $|g\cap 𝒪|=2$ és una recta secante.

(2) En qualsevol punt $P\in 𝒪$, les rectes tangentes que passen per P cobrixen un hiperplano, el hiperplano tangente (és dir, un subespacio proyectivo de dimensió d − 1).

(3) $𝒪$ no conté llínees rectes.

Des del punt de vista de les seccions del hiperplano, un ovoide és un objecte prou homogéneu, perque Per a un $𝒪$ ovoide i un hiperplano $\epsilon$, que conté a lo manco dos punts de $𝒪$, el subconjunt $\epsilon \cap 𝒪$ és un ovoide (o un óval, si és d= 3) dins del hiperplano $\epsilon$.

Per a espais proyectivos finitos de dimensió d ≥ 3 (és dir, el conjunt de punts és finito, l'espai és pappiano), el següent resultat és verdader:

• Si $𝒪$ és un ovoide en un espai proyectivo finito de dimensió d ≥ 3, llavors d= 3.

(En el cas finito, els ovoides existixen solament en espais tridimensionals.)

En un espai proyectivo finito d'orde n >2 (és dir, qualsevol llínea conté exactament punts n + 1) i dimensió d= 3, qualsevol conjunt de punts $𝒪$ és un ovoide si i solament si $|𝒪|=n^2+1$ i cap atre punt són colineales (en una llínea recta comuna).

Reemplaçar la paraula proyectivo en la definició d'ovoide per afí, dona la definició de ovoide afí.

Si per a un ovoide (proyectivo) hi ha un hiperplano adequat $\epsilon$ que no ho creua, es pot cridar a este hiperplano el hiperplano ${\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$ en l'infinit i l'ovoide es convertix en un ovoide afí en l'espai afí corresponent a ${\epsilon }_{\mathrm{\infty }}$. Ademés, qualsevol ovoide afí pot considerar-se un ovoide proyectivo en el tancament proyectivo (agregant un hiperplano en l'infinit) de l'espai afí.

Eixemples

En l'espai proyectivo real (representació no homogénea)

1. $𝒪=\{(x_1,\mathrm{...},x_d)\in {ℝ}^d|x_1^2+\cdots +x_d^2=1\},$ (hiperesfera)
2. $𝒪=\{(x_1,\mathrm{...},x_d)\in {ℝ}^d|x_d=x_1^2+\cdots +x_{d-1}^2\}\cup \{\text{punto del infinito del eje }{x}_d\}$

Estos dos eixemples són cuádricas i són proyectivamente equivalents.

Es poden obtindre eixemples simples, que no són cuádricas, per mig de les següents construccions:

(a) Pegar la mitat d'una hiperesfera a un hiperelipsoide adequat en forma suau.

(b) En els dos primers eixemples, reemplaçar l'expressió x₁² per x₁⁴.

Observació: Els eixemples reals no es poden convertir al cas complex (espai proyectivo sobre $ℂ$). En un espai proyectivo complex de dimensió d ≥ 3 no hi ha cuádricas ovoides, perque en eixe cas qualsevol cuádrica no degenerada conté llínees rectes.

Pero el següent método garantisa molts ovoides no cuádricos:

• Per a qualsevol espai proyectivo no finito, l'existència d'ovoides es pot provar per mig de inducció transfinita.

Eixemples finitos

• Qualsevol ovoide $𝒪$ en un espai proyectivo finito de dimensió d= 3 sobre un cos K de característica ≠ 2 és una cuádrica.

L'últim resultat no es pot estendre ni tan sols a una característica parell, pels següents eixemples que no són cuádricas:

• Per a $K=GF(2^m),m$ impar i $\sigma$ l'automorfisme $x\mapsto x^{(2^{\frac{m+1}{2}})},$

el conjunt de punts

$𝒪=\{(x,y,z)\in K^3|z=xy+x^2{x}^{\sigma }+y^{\sigma }\}\cup \{\text{punto del infinito del eje-}z\}$ és un ovoide en l'espai proyectivo tridimensional sobre K (representat en coordenades no homogénees).

Solament quan m= 1 l'ovoide $𝒪$ és una cuádrica.

$𝒪$ es diu ovoide de Tits-Suzuki.

Vore també

• Ovoide (espai polar)
• Pla de Möbius

Bibliografia

• (1968).«Finite geometries».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York: