Transformació de Bogoliubov

En física teòrica, la transformació de Bogoliubov, també coneguda com a transformació de Bogoliubov-Valatin, ya que va ser desenrollada independentment en 1958 per Nikolái Bogoliúbov i John George Valatin per a trobar solucions de la teoria BCS en un sistema homogéneu. La transformació de Bogoliubov és un isomorfisme ben de l'àlgebra de relacions de conmutación canòniques o be de l'àlgebra de relacions de anticonmutación canòniques. Açò induïx una autoequivalencia en les respectives representacions. La transformació de Bogoliubov se sol utilisar per a diagonalizar hamiltonianos, lo que du a la solució estacionaria de l'equació de Schrödinger corresponent. La transformació de Bogoliubov també és important per a comprendre l'efecte Unruh, la radiació de Hawking, efectes de paritat en física nuclear i molts atres temes.

Eixemple del modo d'un únic bosón

Es considera la relació de conmutación canònica per a operadors bosónicos de creació i aniquilació en la base harmònica:

$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1.$

Es definix un nou parell d'operadors:

$\hat{b}=u\hat{a}+v{\hat{a}}^{†}$

${\hat{b}}^{†}=u^{*}{\hat{a}}^{†}+v^{*}\hat{a},$

a on l'últim és el conjugat hermítico del primer.

La transformació de Bogoliubov és la transformació canònica que du els operadors $\hat{a}$ i ${\hat{a}}^{†}$ a $\hat{b}$ i ${\hat{b}}^{†}$. Per a trobar les condicions en les constants o i v tals que la transformació siga canònica, el commutador s'evalua, respectivament:

$[\hat{b},{\hat{b}}^{†}]=[u\hat{a}+v{\hat{a}}^{†},u^{*}{\hat{a}}^{†}+v^{*}\hat{a}]=\cdots =(|u{|}^2-|v{|}^2)[\hat{a},{\hat{a}}^{†}].$

És d'esta forma evident que $|u{|}^2-|v{|}^2=1$ és la condició per a que la transformació siga canònica.

Ya que la forma d'esta condició recorda a l'identitat hiperbòlica

${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$

Les constants o i v poden parametrizarse fàcilment com

$u=e^{i{\theta }_1}\cosh r$

$v=e^{i{\theta }_2}\sinh r.$

Aplicacions

L'aplicació més important és la del propi Nikolái Bogoliúbov en el camp de la superfluidez. Atres aplicacions comprenen el treball en hamiltonianos i excitació en la teoria del antiferromagnetismo. Quan es calcula teoria quàntica de camps en un espai-temps curvat, la definició del buit canvia i es pot realisar una transformació de Bogoliubov entre estos diferents buits.

Modo fermiónico

Per a la relació d'anticonmutación

$\{\hat{a},{\hat{a}}^{†}\}=1$

la mateixa transformació en o i v aplega a

$\{\hat{b},{\hat{b}}^{†}\}=(|u{|}^2+|v{|}^2)\{\hat{a},{\hat{a}}^{†}\}$

Per a fer la transformació canònica, es pot parametrizar o i v com

$u=e^{i{\theta }_1}\cos r$

$v=e^{i{\theta }_2}\sin r.$

Aplicacions

L'aplicació més important és novament la del propi Nikolái Bogoliúbov, esta volta en la teoria BCS de la superconductividad. El punt en el que la necessitat de realisar una transformació de Bogoliubov es torna òbvia és aquell en que l'aproximació de camp mig del hamiltoniano del sistema pot escriure's en abdós casos com sumixca de térmens bilineales en els operadors de creació i aniquilació originals, incloent un número finito de térmens $⟨a_i^{+}{a}_j^{+}⟩$, açò és, es necessita anar més allà del método de Hartree-Fock habitual. El método també és aplicable en física nuclear, ya que descriu l'energia d'enllaç dels nucleones en un element pesat.

Bibliografia

• J.-P. Blaizot i G. Ripka: Quàntum Theory of Finite Systems, MIT Press (1985)
• A. Fetter i J. Walecka: Quàntum Theory of Many-Particle Systems, Dover (2003)

• Ch. Kittel: Quàntum theory of solids, Wiley (1987)