Teorema de Donsker

Principi d'invariancia de Donsker para una caminada aleatòria simple en $\mathbb{Z}$ .

En teoria de la provabilitat, la teorema de Donsker (també conegut com a principi d'invariancia de Donsker o teorema del llímit central funcional), cridat aixina per Monroe D. Donsker, és una extensió funcional del teorema del llímit central per a funcions de distribució empíriques. Específicament, la teorema establix que una versió adequadament centrada i escalada de la funció de distribució empírica convergix a un procés gaussiano .

Siga $X_1,X_2,X_3,\dots$ una seqüència de variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes (i.i.d.) en mija 0 i varianza 1. Siga $S_n:=\sum _{i=1}^n{X}_i$. El procés estocàstic $S:=(S_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ es coneix com una caminada aleatòria . Definixca la passejada aleatòria reescalado (procés de sumes parcials) per

$W^{(n)}(t):=\frac{S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt{n}},t\in [0,1].$

El teorema del llímit central afirma que $W^{(n)}(1)$ convergix en distribució a una variable aleatòria gaussiana estàndar $W(1)$ conforme $n\to \mathrm{\infty }$. El principi d'invariancia de Donsker estén esta convergència a tota la funció $W^{(n)}:=(W^{(n)}(t){)}_{t\in [0,1]}$. En la seua forma moderna, el principi d'invariancia de Donsker establix que: A mida que les variables aleatòries prenen valors en l'espai de Skorokhod $𝒟[0,1]$, la funció aleatòria $W^{(n)}$ convergix en distribució a un moviment browniano estàndart $W:=(W(t){)}_{t\in [0,1]}$ conforme $n\to \mathrm{\infty }.$

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov per a distribucions uniformes.

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov per a distribucions normals

Enunciat formal

Siga F_n la funció de distribució empírica de la successió de variables aleatòries i.i.d. $X_1,X_2,X_3,\dots$ en funció de distribució F. Definixca la versió centrada i escalada de F_n per mig de

$G_n(x)=\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))$

indexat per x ∈ R . Pel teorema clàssica del llímit central, per a x fix, la variable aleatòria G_n(x) convergix en distribució a una variable aleatòria gaussiana (normal) G (x) en mija zero i varianza F (x)(1 − F(x)) a mida que creix el tamany de la mostra n .

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La successió de G_n( x ), com a elements aleatoris del espai de Skorokhod $𝒟(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, convergix en distribució a un procés gaussiano G en mija zero i covarianza donada per

$\mathrm{cov}[G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min \{F(s),F(t)\}-F(s)$$F(t).$

El procés G (x) es pot escriure com a B (F(x)) a on B és un pont browniano estàndar en l'interval unitari .

Esbós de la prova

Per a distribucions de provabilitat contínues, es reduïx al cas en que la distribució és uniforme en $[0,1]$ per la transformada inversa .

Donada qualsevol seqüència finita de temps $0<t_1<t_2<\dots <t_n<1$, tenim que $N{F}_N(t_1)$ es distribuïx com una distribució binomial en mija $N{t}_1$ i varianza $N{t}_1(1-t_1)$ .

De manera similar, la distribució conjunta de $F_N(t_1),F_N(t_2),\dots ,F_N(t_n)$ és una distribució multinomial. Ara be, l'aproximació del llímit central per a distribucions multinomiales afirma que $\underset{N}{\lim }\sqrt{N}(F_N(t_i)-t_i)$ convergix en distribució a un procés gaussiano en matriu d'covarianza en entrades $\min (t_i,t_j)-t_i{t}_j$, que és precisament la matriu d'covarianza del pont browniano.

Història i resultats relacionats

Kolmogorov (1933) va demostrar que quan F és contínua, el suprem, $\underset{t}{\sup }{G}_n(t)$, i el suprem del valor absolut, $\underset{t}{\sup }|G_n(t)|$, convergixen en distribució a les lleis dels mateixos funcionals del pont browniano B (t), vore la prova de Kolmogorov-Smirnov. En 1949, Doob es va preguntar si la convergència en distribució es complia per a funcionals més generals, formulant aixina un problema de convergència dèbil de funcions aleatòries en un espai funcional adequat.

En 1952, Donsker va formular i va demostrar (no del tot correctament) una extensió general de l'enfocament heurístic de Doob-Kolmogorov. En l'artícul original, Donsker va demostrar que la convergència en llei de G_n al pont browniano es complix per a distribucions uniformes [0,1] sobre la convergència uniforme en t en l'interval [0,1].

No obstant, la formulació de Donsker no era del tot correcta pel problema de la medibilidad dels funcionals dels processos discontinus. En 1956, Skorokhod i Kolmogorov varen definir una mètrica separable d, denominada mètrica de Skorokhod, en l'espai de funcions càdlàg en [0,1], tal que la convergència de d a una funció contínua és equivalent a la convergència de la norma del suprem, i varen demostrar que G_n convergix en llei en $𝒟[0,1]$ al pont browniano.

Posteriorment, Dudley va reformular el resultat de Donsker per a evitar el problema de la medibilidad i la necessitat de la mètrica de Skorokhod. Es pot demostrar que existixen X_i, i.i.d. uniformes en [0,1] i una successió de ponts brownianos continus B _n, tals que

$\Vert G_n-B_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

és mesurable i convergix en provabilitat a 0. Una versió millorada d'este resultat, que proporciona més detalls sobre la taxa de convergència, és l'aproximació de Komlós–Major–Tusnády .

Vore també

• Prova de Kolmogorov-Smirnov