Superpotencial

En física teòrica, el superpotencial és un paràmetro en mecànica quàntica supersimétrica.

Eixemple de superpotencial

Considere's una partícula no relativista unidimensional en un grau de llibertat intern en dos estats, cridat espin (esta no és la noció usual d'espin en mecànica quàntica no relativista, ya que l'espin «real» solament aplica a partícules en l'espai tridimensional). Siguen b i la seua operador adjunt b^† operadors que transformen un partícula en «espin dalt» en un «espin avall» i viceversa, respectivament. Ademés, es consideren b i b^† normalisats de manera que l'anticonmutador {b,b^†} és igual a 1, i b² igual a 0. Siga p el moment de la partícula i x la seua posició en [x,p]=i, a on s'usen unitats naturals de manera que $\hslash =1$. Siga W (el superpotencial) una funció diferenciable arbitrària de x, es definixen els operadors supersimétricos Q₁ i Q₂ com

$Q_1=\frac{1}{2}[(p-iW)b+(p+iW)b^{†}]$

$Q_2=\frac{i}{2}[(p-iW)b-(p+iW)b^{†}]$

Note's que Q₁ i Q₂ semblen autoadjuntos. Siga el hamiltoniano

$H=\{Q_1,Q_1\}=\{Q_2,Q_2\}=\frac{p^2}{2}+\frac{W^2}{2}+\frac{W^{\prime }}{2}(b{b}^{†}-b^{†}b)$

a on W' representa la derivada de W. Note's també que {Q₁,Q₂}=0. Baixe estes circumstàncies, est és un model de joguet de supersimetría en N=2. Els estats en espin avall i espin dalt es denominen habitualment estats bosónicos i fermiónicos, respectivament, en analogia en teoria quàntica de camps. En estes definicions, Q₁ i Q₂ convertixen estats bosónicos en fermiónicos i viceversa. Restringint-se als sectors bosónico o fermiónico s'obtenen dos potencials companyers determinats per

$H=\frac{p^2}{2}+\frac{W^2}{2}\pm \frac{W^{\prime }}{2}$

Superpotencial en dimensió 4

En teories quàntiques de camps supersimétricas en quatre dimensions espai-temporals, que poden representar la naturalea, els camps escalares sorgixen com la component més baixa d'un supercampo quiral, que tendix a prendre automàticament valors en els complexos. Es pot identificar el complex conjugat d'un supercampo quiral com un supercampo antiquiral. Hi ha dos formes possibles d'obtindre una acció d'un conjunt de supercampos:

• Integrar un supercampo sobretot el superespacio generat per $x_{0,1,2,3}$ i $\theta ,\overline{\theta }$,

o

• Integrar un supercampo quiral sobre la mitat quiral d'un superespacio, generat per $x_{0,1,2,3}$ i $\theta$, pero no per $\overline{\theta }$.

La segona opció implica que una funció holomorfa arbitrària d'un conjunt de supercampos quirales pot sorgir com un terme en un lagrangiano invariante baix supersimetría. En este context, holomorfo significa que la funció solament depén dels supercampos quirales, no dels seus complexos conjugats. Es pot denominar a esta funció W com el superpotencial. El fet de que W és holomorfo en els supercampos quirales ajuda a explicar per qué les teories supersimétricas són relativament tractables, ya que permet utilisar potents ferramentes matemàtiques del anàlisis complex. De fet, W no rep correccions perturbativas, resultat conegut com teorema de no renormalización perturbativa. No obstant, pot corregir-se per processos no perturbativos, per eixemple a través de contribucions de funciones beta degudes a instantones.

Bibliografia

• Stephen P. Martin, A Supersymmetry Primer. Plantilla:Arxiv.
• B. Mielnik i O. Roses-Ortiz, "Factorization: Little or great algorithm?", J. Phys. A: Math. Gen. 37: 10007-10035, 2004