Simetrisació

En matemàtiques, la simetrisació és un procés que convertix qualsevol funció en $n$ variables en una funció simètrica en $n$ variables. De manera similar, la antisimetrisació convertix qualsevol funció en $n$ variables en una funció antisimètrica.

Dos variables

Siga $S$ un conjunt i $A$ un grup aditiu abeliano. Una aplicació $\alpha :S\times S\to A$

• Es diu simètrica si

$\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\text{para todo }s,t\in S,$

• i es diu antisimètrica si en canvi

$\alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\text{para todo }s,t\in S.$

La simetrisació d'una aplicació $\alpha :S\times S\to A$ és l'aplicació $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).$ De manera similar, la antisimetrisació o simetrisació oblicua d'una aplicació $\alpha :S\times S\to A$ és l'aplicació $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).$

La suma de la simetrisació i la antisimetrisació d'una aplicació $\alpha$ és $2\alpha .$ Per lo tant, com el número 2 és invertible en els número real, es pot dividir per 2 i expressar cada funció com la suma d'una funció simètrica i d'una funció antisimètrica.

La simetrisació d'una aplicació simètrica és el seu doble, mentres que la simetrisació d'una funció antisimètrica és zero. De manera similar, la antisimetrisació d'una aplicació simètrica és zero, mentres que la antisimetrisació d'un aplicació antisimètrica és el seu doble.

Formes bilineales

La simetrisació i antisimetrisació d'un operador bilineal són bilineales. Per lo tant, més allà de l'orde 2, cada forma bilineal és una suma d'una forma simètrica i d'una forma antisimètrica, i no hi ha diferència entre una forma simètrica i una forma quadràtica.

Sobre el cas de l'orde 2, no totes les formes es poden descompondre en una forma simètrica i en una forma antisimètrica. Per eixemple, sobre els número entero, la forma simètrica associada (sobre els número racional) pot prendre valors semienteros, mentres que sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},$ una funció és antisimètrica si i solament si és simètrica (és dir, si $1=-1$).

Açò du a la noció de formes ε-quadràtiques i de formes ε-simètriques.

Teoria de la representació

En térmens de la teoria de representació:

• L'intercanvi de variables dona una representació del grup simètric en l'espai de funcions en dos variables
• Les funcions simètrica i antisimètrica són les subrepresentaciones corresponents a la representació trivial i a la representació del signe, i
• La simetrisació i la antisimetrisació assignen una funció a estes subrepresentaciones: si es dividix per 2, s'obtenen aplicacions de proyecció.

Com el grup simètric d'orde dos és igual al grup cíclico d'orde dos (${\mathrm{S}}_2={\mathrm{C}}_2$), est correspon a la transformada de Fourier discreta d'orde dos.

n variables

De manera més general, donada una funció en $n$ variables, es pot simetrizar prenent la suma de totes les permutació $n!$ de les variables, o antisimetrizar prenent la suma de totes les $n!/2$ permutació pares i restant la suma de totes $n!/2$ les permutació impars (llevat quan $n\le 1,$ per lo que l'única permutació és parell).

Ací, la simetria d'una funció simètrica es multiplica per $n!$; per lo tant, si $n!$ és invertible, com quan es treballa sobre un cos de característica $0$ o $p>n,$ s'obtenen proyeccions quan es dividixen per $n!.$

En térmens de la teoria de la representació, estes solament produïxen les subrepresentaciones corresponents a la representació trivial i de signes, pero per a $n>2$ hi ha atres (vore teoria de la representació del grup simètric i polinomi simètric).

Vore també

• Aplicació multilineal alterna
• Tensor antisimètric

Bibliografia

• (1990) Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia" (vol. 6), Springer. ISBN 978-1-55608-005-0.