Retícul vectorial topològic

En matemàtiques, específicament en anàlisis funcional i en teoria de l'orde, un retícul vectorial topològic és un espai vectorial topològic (EVT) d'Hausdorff $X$ que té un orde parcial $\le$ que ho convertix en un espai de Riesz que posseïx una base d'entorns en l'orige que consta de conjunts sòlits. Les rets vectorials ordenades tenen aplicacions importants en teoria espectral.

Definició

Si $X$ és un retícul vectorial, llavors es denominen operacions de retículs vectorials a les següents aplicacions:

1. Les tres aplicacions de $X$ sobre sí mateixa definides per $x\mapsto |x|$, $x\mapsto x^{+}$, $x\mapsto x^{-}$ i
2. Les dos aplicacions de $X\times X$ sobre $X$ definides per $(x,y)\mapsto \underset{}{\sup }\{x,y\}$ i $(x,y)\mapsto \underset{}{\inf }\{x,y\}$.

Si $X$ és un EVT sobre els número real i un retícul vectorial, llavors $X$ és localment sòlit si i solament si (1) el seu con positiu és un con normal i (2) les operacions del retícul vectorial són contínues.

Si $X$ és un retícul vectorial i un espai vectorial topològic ordenat que també és un espai de Fréchet en el que el con positiu és un con normal, llavors les operacions del retícul són contínues.

Si $X$ és un espai vectorial topològic (EVT) i un espai vectorial ordenat, llavors $X$ es denomina localment sòlit si $X$ posseïx una base d'entorns en l'orige que consta de conjunts sòlits. Un retícul vectorial topològic és un EVT d'Hausdorff $X$ que té un orde parcial $\le$ que ho convertix en un espai de Riesz que és localment sòlit.

Propietats

Cada retícul vectorial topològic té un con positiu tancat i, per lo tant, és un espai vectorial topològic ordenat. Siga $ℬ$ el conjunt de tots els subconjunts acotats d'un retícul vectorial topològic en con positiu $C$ i, per a qualsevol subconjunt $S$, siga $[S{]}_C:=(S+C)\cap (S-C)$ la envolvente $C$ saturat de $S$. Llavors, el con positiu $C$ del retícul vectorial topològic és un con $ℬ$ estricte, a on $C$ és un con $ℬ$ estricte significa que $\{[B{]}_C:B\in ℬ\}$ és una subfamília fonamental de $ℬ$, és dir, cada $B\in ℬ$ està contingut com un subconjunt d'algun element de $\{[B{]}_C:B\in ℬ\}$).

Si un retícul vectorial topològic $X$ posseïx orde complet, llavors cada banda està tancada en $X$.

Bibliografia

• (2011) Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.