Espai vectorial topològic ordenat

En matemàtiques, específicament en anàlisis funcional i en la teoria de l'orde, un espai vectorial topològic ordenat, també cridat EVT ordenat, és un espai vectorial topològic (EVT) $X$ que té un orde parcial (≤) en un espai vectorial ordenat el con positiu del qual $C:=\{x\in X:x\ge 0\}$ és un subconjunt tancat de $X$. Els EVT ordenats tenen aplicacions importants en teoria espectral.

Con normal

Artícul principal → Con normal (anàlisis funcional).

Si C és un con en un EVT $X$, llavors C és normal si $𝒰={\left[𝒰\right]}_C$, a on $𝒰$ és el filtre d'entorns en l'orige, ${\left[𝒰\right]}_C=\{\left[U\right]:U\in 𝒰\}$ i $[U{]}_C:=(U+C)\cap (U-C)$ és l'entorn C-saturat d'un subconjunt $U$ de $X$.

Si C és un con en un EVT $X$ (sobre els número real o complexos), llavors els següents enunciats són equivalents:

1. C és un con normal.
2. Per a cada filtre $ℱ$ en $X$, si $\lim ℱ=0$ llavors $\lim {\left[ℱ\right]}_C=0$.
3. Existix una base d'entorns $ℬ$ en $X$ tal que $B\in ℬ$ implica que ${[B\cap C]}_C\subseteq B$.

i si $X$ és un espai vectorial sobre els número real, llavors també:

1. Existix una base d'entorns en l'orige que consta de conjunts convexos, equilibrats i C-saturats.
2. Existix una família generadora $𝒫$ de semi-normes en $X$ tal que $p(x)\le p(x+y)$ per a tots els $x,y\in C$ i $p\in 𝒫$.

Si la topología en $X$ és localment convexa, llavors el tancament d'un con normal és un con normal.

Propietats

Si C és un con normal en $X$, i B és un subconjunt acotat de $X$, llavors ${\left[B\right]}_C$ està acotat. En particular, cada interval $[a,b]$ està acotat. Si $X$ és de Hausdorff, llavors tot con normal en $X$ és un con propi.

Propietats

• Siga $X$ un espai vectorial ordenat sobre els número real que és de dimensió finita. Llavors, l'orde de $X$ és arquimediano si i solament si el con positiu de $X$ està tancat per a la topología única baix la qual $X$ és un EVT de Hausdorff.
• Siga $X$ un espai vectorial ordenat sobre els reals en con positiu C. Llavors, els següents enunciats són equivalents:

1. L'orde de $X$ és regular.
2. C es tanca secuencialment per a alguna topología d'un EVT localment convexo de Hausdorff en $X$; i $X^{+}$ distinguix punts en $X$
3. L'orde de $X$ és arquimediano, i C és normal per a algunes topología d'un EVT localment convexo de Hausdorff en $X$.

Bibliografia

• (2011) Topological Vector Spaces, Second edició, Boca Raton, FL: CRC Press. OCLC 144216834. ISBN 978-1584888666.
• Schaefer, Helmut H. (1999). Topological Vector Spaces, Second edició (vol. 8), New York, NY: Springer New York Imprint Springer. OCLC 840278135. ISBN 978-1-4612-7155-0.