Relació finita

Diagrama que ilustra una relació entre els conjunts X i Y.

Una relació finita R de n conjunts (també denominada relació n-ària) és una generalisació de la noció de relació matemàtica binaria para més de dos elements. Es definix com un subconjunt del producte cartesiano^[1]^[2] dels conjunts $A_{1}, \dots, A_{n}$ , cridats el esquema de la relació:

R \subseteq A_{1} \times \dots \times A_{n}

La relació indica si els elements dels conjunts estan relacionats entre sí, és dir, si cada possible tupla que pren valors de l'esquema pertany o no pertany a la relació.

Una relació es representa com:

R = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in A_{1} \times \dots \times A_{n} ∣ R (a_{1}, \dots, a_{n})}

Per eixemple, podem representar la següent relació R "x creu que a i li agrada z", en el conjunt de persones P = {Alicia, Benito, Carlos, Diana}, a on l'esquema és el producte cartesiano P₁ × P₂ × P₃:

R = {(Alicia, Benito, Diana), (Carlos, Alicia, Benito), (Carlos, Carlos, Alicia), (Diana, Diana, Diana)}.

R es pot representar també en esta taula:

Relació R "x creu que a i li agrada z"
P	P	P
Alicia	Benito	Diana
Carlos	Alicia	Benito
Carlos	Carlos	Alicia
Diana	Diana	Diana

L'orde de les taules no és rellevant pero les columnes sí, ya que les files de les relacions són tuplas ordenades.

Una relació es descriu com: La relació n-ària^[3] és el conjunt tuplas ordenades $(a_{1}, \dots, a_{n})$ pertanyents al producte cartesiano $A_{1} \times \dots \times A_{n}$ a on $a_{i} \in A_{i}$ , per a cada $i \in {1, \dots, n}$ , la condició del qual $R (a_{1}, \dots, a_{n})$ se satisfà.

Un cas particular es presenta quan tots els conjunts de la relació són iguals: $A_{1} = \dots = A_{n}$ , és dir $A \times \dots \times A$ i es descriu com $A^{n}$ :

R \subseteq A^{n}

Classificació

Les relacions es classifiquen en base en el número de conjunts del producte cartesiano, el qual és el número de tuplas:

Relació unaria (Un conjunt):

R \subseteq A, R (a)

Relació binaria (Dos conjunts):

R \subseteq A_{1} \times A_{2}, R (a_{1}, a_{2})

Relació ternaria (Tres conjunts):

R \subseteq A_{1} \times A_{2} \times A_{3}, R (a_{1}, a_{2}, a_{3})

Relació cuaternaria (Quatre conjunts):

R \subseteq A_{1} \times A_{2} \times A_{3} \times A_{4}, R (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

Relació n-ària (En $n$ conjunts):

R \subseteq A_{1} \times ... \times A_{n}, R (a_{1}, \dots, a_{n})

Definicions

Quan dos objectes, qualitats, classes o atributs, observats de forma conjunta per la ment, es veuen baix alguna conexió, eixa conexió es diu relació.

Augustus De Morgan^[4]

La primera definició del concepte de relació donada en matemàtiques és:

Definició 1: Una relació n-ària R sobre el conjunt $X 1, \dots, X n$ és un subconjunt del producte cartesiano $X 1 \times \dots \times X n$ .^[5]

La segona definició de l'idea de relació fa us d'un modisme que és comú en matemàtiques, estipulant que "tal o com element és una n-tupla" per a assegurar que tal o com objecte matemàtic estiga determinat per l'especificació d'una relació matemàtica entre n elements. En el cas d'una relació R sobre n elements, hi ha $n + 1$ coses que especificar, a saber, els n elements, més un subconjunt del seu producte cartesiano. En llenguage matemàtic, açò s'expressa dient que R és una ( $n + 1$ )tupla.

Definició 2: Una relació n-ària R sobre el conjunt X₁, ⋯, Xn és una (n + 1)-tupla $($ X₁, ⋯, Xn, G) a on G és un subconjunt del producte cartesiano X₁ × ⋯ × Xn cridat grafo de R.

Com a regla general, s'elegirà per a eixe propòsit la definició que millor s'ajuste a l'aplicació en qüestió, i si alguna volta fora necessari distinguir entre les dos definicions, llavors una entitat que satisfaça la segona definició pot denominar-se una relació embebida o inclosa.

Abdós declaracions $(x 1, \dots, x n) \in R$ (baixe la primera definició) i $(x 1, \dots, x n) \in G$ (baixe la segona definició) impliquen que "x₁, ⋯, x_n estan relacionats per R i es denoten usant la notació de prefixos $Rx 1 \dots x n$ i usant la notació de sufixos $x 1 \dots x n R$ . En el cas en que R siga una relació binaria, eixes declaracions també es denoten usant la notació de infijo, en la forma $x 1 Rx 2$ .

Les següents consideracions s'apliquen baix qualsevol de les definicions:

El conjunt X_i es denomina $i$ ésimo domini de R.^[5] Segons la primera definició, la relació no determina de forma única una seqüència donada de dominis. En el cas en que R siga una relació binaria, X₁ també es diu simplement domini o conjunt de partida de R, i X₂ també és cridat codominio o conjunt de destí de R.
Quan els elements de X_i són relacions, X_i es denomina domini no simple de R.^[5]
El conjunt de $\forall x i \in X i$ per al que existix $(x 1, \dots, x i - 1, x i + 1, \dots, x n) \in X 1 \times \dots \times X i - 1 \times X i + 1 \times \dots \times X n$ tal que $Rx 1 \dots x i - 1 x i x i + 1 \dots x n$ es denomina iésimo domini de definició o domini actiu de R.^[5] En el cas en que R és una relació binaria, el seu primer domini de definició també es denomina simplement domini de definició o domini actiu de R, i el seu segon domini de definició també es denomina codominio de definició o codominio actiu de R.
Quan el domini $i$ de definició de R és igual a X_i, es diu que R és total en X_i. En el cas a on R és una relació binaria, quan R és total en X₁, també es diu que és total per l'esquerra o serial, i quan R' ' és total en X₂, també es diu que és total per la dreta o sobreyectivo.

Quan $\forall x \forall i \in X i .$ $\forall z \in X j .$ $xR ij z \land yR ij z \Rightarrow x = i$ , a on $i \in I$ , $j \in J$ , $R ij = π ij R$ i $Plantilla:Mset$ és una partició de $Plantilla:Mset$ , es diu que R és únic en $Plantilla:Mset i \in I$ i $Plantilla:Mset i \in J$ es denomina una clau primària^[5] de R. En el cas en que R siga una relació binaria, quan R és única en {X₁}, també es diu que és única per l'esquerra o inyectiva; i quan R és única en {X₂}, també es diu que és única per la dreta o funcional.
Quan tots els X_i són el mateix conjunt X, és més senzill referir-se a R com una relació n-ària sobre X, cridada relació homogénea. De lo contrari, R es denomina relació heterogénea.
Quan qualsevol X_i està buit, el producte cartesiano que ho definix està buit i l'única relació sobre dita seqüència de dominis és la relació buida $R = \emptyset$ . Per lo tant, comunament s'estipula que tots els dominis no estiguen buits.

Siga el domini booleano B un conjunt de dos elements, com per eixemple $B = {0, 1$ }, els elements de la qual poden interpretar-se com a valors llògics, típicament $0= fals$ i $1= vweddero$ . La funció característica de R, denotada per χ_R, és la funció valor booleano $χ R : X 1 \times \dots \times X n \to B$ , definida per $χ R ((x 1, \dots, x n))= 1$ si $Rx 1 \dots x n$ i $χ R ((x 1, \dots, x n))= 0$ en cas contrari.

En matemàtiques aplicades, ciències de la computació i estadística, és comuna referir-se a una funció en valors booleanos com predicat n-ari. Des del punt de vista més abstracte de la llògica i de la teoria de models, la relació R constituïx un model llògic o una estructura relacional, que servix com un dels moltes interpretacions possibles d'alguns símbols de predicat n-aris.

Degut a que les relacions sorgixen en moltes disciplines científiques, aixina com en moltes branques de les matemàtiques i de la llògica, existix una variació considerable en la terminologia. A banda de l'extensió semàntica pròpia de la teoria de conjunts d'un concepte o terme relacional, el terme relació també es pot utilisar per a referir-se a l'entitat llògica corresponent, ya siga la comprensió llògica, que és la totalitat de les propietats abstractes compartides per tots els elements de la relació, o be els símbols que denoten estos elements. Ademés, alguns escritors d'esta última tendència introduïxen térmens en connotacions més concretes (com a estructura relacional per a l'extensió a la teoria de conjunts d'un concepte relacional dau).

Vore també

Referències

↑ (2019) «2», Matemàtiques de relacions (en espanyol), Punt Roig Llibres, S.L., p. 48. ISBN 978-84-17848-55-2.
↑ Anthony Orton (2003). «III», Didàctica de les matemàtiques (en espanyol), Edicions Morata, p. 47. ISBN 978-847-112-345-9.
↑ Sancho San Román (1990). «5.1», Llògica matemàtica i computabilidad (en espanyol), Edicions Díaz de Sants, S.A., p. 5. ISBN 978-848-718-953-1.
↑ De Morgan, A. (1858) "On the syllogism, part 3" in Heath, P., ed. (1966) On the syllogism and other logical writings. Routledge. P. 119,
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 “A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks” (1 de juny 1970). Communications of the ACM 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685.

Bibliografia

Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
Lawvere, F.W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.

Tarski, A. (1956/logico no1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Els Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of Califòrnia Press.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Relación finita» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2019) «2», Matemàtiques de relacions (en espanyol), Punt Roig Llibres, S.L., p. 48. ISBN 978-84-17848-55-2.

[2] Anthony Orton (2003). «III», Didàctica de les matemàtiques (en espanyol), Edicions Morata, p. 47. ISBN 978-847-112-345-9.

[3] Sancho San Román (1990). «5.1», Llògica matemàtica i computabilidad (en espanyol), Edicions Díaz de Sants, S.A., p. 5. ISBN 978-848-718-953-1.

[4] De Morgan, A. (1858) "On the syllogism, part 3" in Heath, P., ed. (1966) On the syllogism and other logical writings. Routledge. P. 119,

[Codd1970-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 “A Relational Model of Data for Large Shared Data Banks” (1 de juny 1970). Communications of the ACM 13 (6): 377–387. doi:10.1145/362384.362685.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]