Estructura d'incidència

Archiu:Inzidenz-struktur.svg

Eixemples d'estructures d'incidència:
Eixemple 1: punts i rectes del pla euclidiano (dalt)
Eixemple 2: punts i circumferències (centre),
Eixemple 3: estructura d'incidència finita definida per una matriu d'incidència (avall)

En matemàtiques, una estructura d'incidència és un sistema abstracte que consta de dos tipos d'objectes i una única relació entre estos tipos d'objectes. Consideren-se els punts i les rectas d'un pla com els dos tipos d'objectes, i ignoren-se totes les propietats d'esta geometria, llevat el criteri de relació, és dir, establir qué punts estan en quins rectes per a tots els punts i rectes definits. Lo que queda és l'estructura d'incidència en un pla euclídeo.

Les estructures d'incidència es consideren en major freqüència en el context geomètric, a on es treballa sobre plans (com el pla afí, el pla proyectivo o el pla de Möbius), pero el concepte és molt ampli i no es fixa exclusivament en les configuracions geomètriques. Inclús en un entorn geomètric, les estructures d'incidència no es llimiten solament a punts i rectes; i es poden utilisar objectes de dimensions superiors (plans, sòlits, espais $n$ -dimensionals, o superfícies còniques). L'estudi d'estructures finitas a voltes es denomina geometria finita.^[1]

Definició formal i terminologia

Una estructura d'incidència és una tripleta ( $P, L, I$ ) a on $P$ és un conjunt els elements del qual es diuen punts, $L$ és un conjunt distint els elements del qual es diuen llínees i $I \subseteq P \times L$ és la relació d'incidència. Els elements de $I$ es diuen banderes. Si ( $p, l$ ) està en $I$ , llavors es pot dir que el punt $p$ "es troba en" la llínea $l$ o que la llínea $l$ "pansa per" el punt $p$ . Una terminologia més "simètrica", per a reflectir la naturalea simètrica d'esta relació, és que " $p$ és incident en $l$ " o que " $l$ és incident en $p$ " i s'utilisa la notació $p I l$ en el mateix significat que $(p, l) \in I$ .^[2]

En algunes situacions comunes, $L$ pot ser un conjunt de subconjunts de $P$ , en el cas de la qual l'incidència $I$ serà la condició d'estar contingut ( $p I l$ si i solament si $p$ és membre de $l$ ). Les estructures d'incidència d'este tipo es denominen "teòriques de conjunts".^[3] Este no és sempre el cas, per eixemple, si $P$ és un conjunt de vectores i $L$ un conjunt de matrius quadrades, es pot definir

I = {(v, M) : \vec{v} es un vector propio de la matriz M}

lo que demostra que, si be s'utilisa el llenguage geomètric de punts i rectes, els tipos d'objectes no necessiten ser estos objectes geomètrics.

Eixemples

Artícul principal → Geometria d'incidència.

Una estructura d'incidència és uniforme si cada llínea incidix en el mateix número de punts. Cada u d'estos eixemples, llevat el segon, és uniforme (en tres punts per llínea).

Grafos

Qualsevol grafo (que no té per qué ser simple; es permeten bucles i arestes múltiples) és una estructura d'incidència uniforme en dos punts per llínea. Per a estos eixemples, els vèrtiços del grafo formen el conjunt de punts, els vínculs del grafo formen el conjunt de llínees, i incidència significa que un vèrtiç és un punt final d'un víncul.

Espais llineals

Les estructures d'incidència rara volta s'estudien en tota la seua generalitat, i és típic centrar-se en aquelles que satisfan alguns axioma adicionals. Per eixemple, un espai llineal parcial és una estructura d'incidència que satisfà:

Dos punts distints qualssevol incidixen com a màxim en una llínea comuna, i
Cada llínea incidix en a lo manco dos punts.

Si el primer axioma anterior es reemplaça per la condició més forta:

Dos punts distints qualssevol incidixen exactament en una llínea comuna,

l'estructura d'incidència resultant es denomina espai llineal.^[4]^[5]

Rets

Un eixemple més especialisat és una $k$ -ret, una estructura d'incidència en la que les llínees es classifiquen en $k$ classes paraleles, de modo que dos llínees en la mateixa classe paralela no tenen punts comuns, pero dos llínees en diferents classes tenen exactament un punt comú, i cada punt pertany exactament a una llínea de cada classe paralela. Un eixemple d'una $k$ -ret és el conjunt de punts d'un pla afí junt en $k$ classes de rectes afins paraleles.

Vore també

Referències

↑ Colbourn & Dinitz 2007
↑ Dembowski 1968
↑ Biliotti, Jha & Johnson 2001
↑ El terme "espai llineal" també s'utilisa per a referir-se a espais vectorials, pero açò rara volta causarà confusió.
↑ Moorhouse 2014

Bibliografia

(1986).«Design Theory».Cambridge University Press.
(2001).«Foundations of Translation Plans».Marcel Dekker.
(2007).«Handbook of Combinatorial Designs».Chapman & Hall/ CRC.Boca Raton:
(1968).«Finite geometries».Springer Science+Business Mija.Berlin, New York:
Moorhouse, G. Eric. «Incidence Geometry».
(2013).«Configurations from a Graphical Viewpoint».Springer.doi:10.1007/978-0-8176-8364-1.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Estructura de incidencia» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Colbourn & Dinitz 2007

[Demb1-2] Dembowski 1968

[3] Biliotti, Jha & Johnson 2001

[4] El terme "espai llineal" també s'utilisa per a referir-se a espais vectorials, pero açò rara volta causarà confusió.

[5] Moorhouse 2014

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]