Relació n-ària

En matemàtiques i llògica, una relació n-ària R (o a sovint comunament relació) és una generalisació de la relació binaria, a on R està formada per una tupla de n térmens:

$R=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n):x_1\in X_1\wedge x_2\in X_2\wedge \dots \wedge x_n\in X_n\wedge R(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{\}}$

Un predicat n-ari: $R(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}$ és una funció a valors de veres de n variables.

Degut a que una relació com l'anterior definix de manera única un predicat n-ari que val per a $x_1,x_2,\dots ,x_n$ si i només si $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ està en $R$, i viceversa, la relació i el predicat es denoten a sovint en el mateix símbol. Aixina que, per eixemple, les dos proposicions següents es consideren com a equivalents:

• $R(x_1,x_2,\dots ,x_n)$
• $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in R$

Eixemple

La següent relació, definida sobre el conjunt N dels número natural, és n-ària, puix posseïx n térmens:

$C=\{(a_1,a_2,\dots ,a_n):(a_1,a_2,\dots ,a_n)\in {\mathbb{N}}^n\wedge (a_1<a_2<\dots <a_n)\}$

La relació diu que cada u dels térmens és major que l'anterior. El valor de n és un paràmetro fix, que es pot explicitar, o be deixar com a genèric, per a descriure un cas general.

Subtipos

Les relacions es classifiquen segons el número de conjunts en el producte cartesiano; en atres paraules, el número de térmens en l'expressió:

• Relació unaria: R(x).
• Relació binaria: R(x, i).
• Relació ternaria: R(x, i, z).
• Relació cuaternaria: R(x, i, z, t).

Les relacions en més de 4 térmens generalment es diuen n-àries; per eixemple "una relació 5-ària".

Vore també

• Relació matemàtica
• Correspondència matemàtica

Referències

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1994) Elements of the History of Mathematics, John Meldrum, trans. Springer-Verlag.
• Halmos, P.R. (1960) Naive Set Theory. Princeton NJ: D. Van Nostrand Company.
• Lawvere, F. W., and R. Rosebrugh (2003) Sets for Mathematics, Cambridge Univ. Press.
• Suppes, Patrick (1960/1972) Axiomatic Set Theory. Dover Publications.
• Tarski, A. (1956/1983) Logic, Semantics, Metamathematics, Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger, trans. 1st edition, Oxford University Press. 2nd edition, J. Corcoran, ed. Indianapolis IN: Hackett Publishing.
• Ulam, S.M. (1990) Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Els Alamos Collaborators in A.R. Bednarek and Françoise Ulam, eds., University of Califòrnia Press.