Quadrat màgic

Quadrat màgic del Temple de la Sagrada Família de Barcelona

Quadrat màgic del gravat Melancolia I, obra d'Alberto Durero

Un quadrat màgic és una taula de grau primari a on es dispon d'una série de número entero en un quadrat o matriu de forma tal que la suma dels números per columnes, files i diagonals principals siga la mateixa. Usualment els números amprats per a reblir les caselles són consecutius, d'1 a n², sent n el número de columnes i files del quadrat màgic.

Els quadrats màgics actualment no tenen cap aplicació tècnica coneguda que es beneficie d'estes característiques, per lo que seguixen reclosos al divertimento, a la curiositat i al pensament matemàtic. A banda d'açò, en les ciències amagades i més concretament en la màgia tenen un lloc destacat. En alguns tipos de tècniques orientals, com en el cas del Ba Gua i del Feng Shui, els quadrats màgics tenen gran importància, tant per raons filosòfiques i numerológicas com a pràctiques, per eixemple, al moment de determinar orientacions i espais específics.

Introducció

Considerem la successió matemàtica 1, 2, 3, 4... 36 (quadrat d'orde 6), i dispongam els números ordenadamente en dos séries dispostes en zig-zag:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
36	35	34	33	32	31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19

Resulta evident que qualsevol parell de números alineats verticalment sumixca lo mateix ya que a mida que nos desplacem per les columnes, en la fila superior s'afig una unitat, mentres que en la fila inferior es resta. La suma és en tots els casos la dels números extrems:

$n^2+1=36+1=37$

1	2	3	4	5	6
12	11	10	9	8	7
13	14	15	16	17	18
24	23	22	21	20	19
25	26	27	28	29	30
36	35	34	33	32	31

Si disponem el conjunt de números en sis files (vore taula la dreta), fàcilment es pot apreciar que les sumes en les distintes columnes han de ser necessàriament iguals, ya que els números es troben agrupats per parells tal i com estaven en el primer cas (compare's els parells de files 1.ª-6ª, 2ª-5ª i 3ª-4ª en la disposició original). Ara no obstant, per ser tres els parells de files (n/2), la suma serà:

$M_2(n)=\frac{n(n^2+1)}{2}$

cantitat que es denomina constant màgica, i que en el nostre cas és n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Orde n	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
M2 (n)	15	34	65	111	175	260	369	505	671	870	1105

Bota a la vista que el quadro anterior no és un quadrat màgic, ya que en dispondre's els números de forma consecutiva, les sumes de les sifres de cada fila són cada volta majors. No obstant hem trobat sis séries de números compresos entre 1 i 36, de forma tal que, sense repetir-se cap, les sumes de les séries són la constant màgica. Si en lloc de la disposició anterior coloquem els números consecutivament, obtenim una disposició en la que els números de la diagonal principal es poden escriure de la forma (a-1)×n + a.

Calculant la suma, sabent que les files a van d'1 a n:

$\sum _{a=1}^n(a-1)n+a=(n+1)\sum _{a=1}^{n}a-\sum _{a=1}^{n}n=(n+1)\frac{n(1+n)}{2}-n^2=\frac{n^3+2n^2+n-2n^2}{2}=\frac{n(n^2+1)}{2}$

De nou la constant màgica. Més encara, qualsevol série de sis valors en els que no hi haja dos de la mateixa fila o columna sumarà la constant màgica. Escrivint el terme i, j de la matriu com (i-1)×n + j, i prenent 6 térmens qualssevol en la condició de que ni i, ni j es repetixquen i varien d'1 fins a n, l'equació resultant serà exactament la mateixa que en el cas anterior i la suma, per tant, la constant màgica.

Com es pot demostrar, la cantitat de séries possibles de n números que complixquen la condició anterior és n!, 720 en quadrats d'orde 6, i ni tan sols són totes les possibles, ya que abans havíem obtingut sis que no estan incloses entre elles.

D'orde 3 existix un únic quadrat màgic (les distintes variacions es poden obtindre per rotació o reflexió), en 1693 Bernard Frenicle de Bessy va establir que hi ha 880 classes de quadrats màgics d'orde 4. Posteriorment s'ha trobat que existixen 275.305.224 quadrats màgics d'orde 5; el número de quadrats de major orde es desconeix encara pero segons estimacions de Klaus Pinn i C. Wieczerkowski realisades en 1998 per mig dels métodos de Montecarlo i de mecànica estadística existixen (1,7745 ± 0,0016) × 10¹⁹ quadrats d'orde 6 i (3,7982 ± 0,0004) × 10³⁴ quadrats d'orde 7.

Pel que fa a órdens inferiors, és evident que d'orde un existix un únic quadrat màgic,   1  , mentres que d'orde 2 no existix cap, lo que es pot demostrar considerant el quadrat màgic a, b, c, d de la figura; per a que tal disposició fora un quadrat màgic deurien complir-se les següents equacions (sent M la constant màgica o qualsevol cantitat, si es vol):

a b c d

a + b = M a + c = M a + d = M b + c = M b + d = M c + d = M

escrivint el sistema d'equacions en forma matricial i buscant l'orde de la matriu de coeficients, s'obté que és tres, mentres que el número d'incògnites és quatre, de modo que el sistema solament té la solució trivial a = b = c = d = M/2 sent impossible construir un quadrat màgic en el que les quatre sifres siguen distintes.

Resumint: la cantitat de diferents n×n quadrats màgics per a n entre 1 i 5, sense contar rotacions i reflexions, són:

1, 0, 1, 880, 275305224 Plantilla:OEIS.

Per a s = 6 s'ha estimat que hi ha aproximadament 1.7745×10¹⁹.

The Astronomical Phenomena (Tien Yuan Fa Wei).
Compilado per Bao Yunlong en el sigle XIII,
edició de la Dinastia Ming, 1457-1463.

Biblioteca del Congrés dels EE.UU.

Història

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Molts dels aspectes històrics dels quadrats màgics no es conserven. El quadro Melancolia I 1514 d'Alberto Durero, seguix existint, lo mateix que l'edifici de la Sagrada Família.

En l'antiga China ya es coneixien els quadrats màgics des de el III mileni a. C., com diu el Lo Shu. Segons la llegenda, un cert dia es va produir el desbordament d'un riu; la gent, temerosa, va intentar fer una ofrena al deu del riu Lo (un dels desbordats) per a calmar la seua ira. No obstant, cada volta que ho feyen, apareixia una tortuga que rondava l'ofrena sense acceptar-la, fins que un chic es va donar conte de les peculiars marques de la closca de la tortuga, d'esta manera varen poder incloure en la seua ofrena la cantitat demanada (15), quedant el deu satisfet i tornant les aigües al seu caixer.

Igualment varen conéixer combinacions d'esta classe els indis, egipcíacs, àraps i grecs. A tals quadrats, les diferents cultures els han atribuït propietats astrológicas i adivinatorias portentoses gravant-se en freqüència en talismans. Aixina, com arreplega Cornelius Agrippa en D'amagada philosophia libri tres (1533), el quadrat d'orde 3 (15) estava consagrat a Saturn, el de 4 (34) a Júpiter, el de 5 (65) a Mart, el del 6 (111) al Sol, el del 7 (175) a Venus, el del 8 (260) a Mercurio i el de 9 (369) a la Lluna; idèntica atribució pot trobar-se en l'astrologia hindú.

L'introducció dels quadrats màgics en occident s'atribuïx a Manuel Moscópulo entorn a el XIV, autor d'un manuscrit en el que per volta primera s'expliquen alguns métodos per a construir-los. En posterioritat, l'estudi de les seues propietats, ya en caràcter científic, va atraure l'atenció de grans matemàtics que varen dedicar a l'assunt obres diverses a pesar de la manifesta inutilitat pràctica dels quadrats màgics. Entre ells cal citar a Stifel, Fermat, Pascal, Leibnitz, Frénicle, Bachet, La Hire, Saurin, Euler.

Melancolia I, gravat d'Alberto Durero; el quadrat màgic apareix en el cantó superior dret.

El quadrat màgic d'Alberto Durero

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Melancolia I està considerat el primer de les arts europees. En el quadrat d'orde quatre s'obté la constant màgica (34) en files, columnes, diagonals principals, i en les quatre submatrices d'orde 2 en les que pot dividir-se el quadrat, sumant els números dels cantons, els quatre números centrals, els dos números centrals de les files (o columnes) primera i última, etc. i sent les dos sifres centrals de l'última fila 1514 l'any d'eixecució de l'obra.

Algunes disposicions particulars en el quadrat màgic de Durero que sumen la constant màgica.

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Frontera de la Sagrada Família

El quadrat màgic de la Sagrada Família

La Frontera de la Passió del Temple Expiatori de la Sagrada Família en Barcelona, dissenyada per l'escultor Josep María Subirachs, mostra un quadrat màgic d'orde 4.

La constant màgica del quadrat és 33, l'edat de Jesucristo en la Passió. També s'ha atribuït l'elecció d'este número com una velada alusió a la suposta adscripció masónica, que mai ha segut demostrada, d'Antonio Gaudí, ya que 33 són els graus tradicionals de la maçoneria. Estructuralment, és molt similar al quadrat màgic de Melancolia, pero dos dels números del quadrat (el 12 i el 16) estan disminuïts en dos unitats (10 i 14) en lo que apareixen repeticions. Açò permet rebaixar la constant màgica en 1.

Els quadrats trivials com este no solen tindre interés matemàtic i només tenen importància històrica. Llig Sallows ha senyalat que, per l'ignorança de Subirachs de la teoria del quadrat màgic, el famós escultor va cometre un error innecessari, i recolza esta afirmació donant varis eixemples de quadrats màgics no trivials de 4×4 que mostren la constant màgica desijada de 33.

Quadrat màgic aritmètic

Quadrats màgics d'orde impar (I)

Estos quadrats poden generar-se segons el método publicat en 1691 per Simón de la Loubere, cridat a voltes método siamés, país en el que va eixercitar el càrrec d'embaixador de Luis XIV, método ya conegut pels astrólogos orientals. Començant en la casella central de la primera fila en el primer número, es reblix la diagonal quebrada en els següents en sentit NO (o NE). Completada la primera diagonal, es descendix una posició i es reblix la segona en el mateix sentit que l'anterior, repetint-se el pas anterior en el restant de diagonals fins a completar el quadrat. Les Ternes pitagórico i els Quadrats màgics s'ordenen en forma precisa en els quadrats màgics d'orde impar.

Òbviament, es podria haver començat en qualsevol de les caselles centrals de les files o columnes perimetrals, sent en cada cas la direcció de les diagonals cap a fòra del quadrat i el sentit del desplaçament una volta finalisada cada diagonal el dau per la posició relativa del centre del quadrat respecte de la casella inicial.

Resulta evident que, començant per qualsevol atra casella, les sumes de les files i columnes serà la constant màgica, ya que la posició relativa de les sifres serà la mateixa que en el cas anterior; no obstant, en la diagonal paralela a la direcció de reblit no es complirà esta condició (sí en l'atra). De fet, la particular elecció de la casella inicial respon a la necessitat de que en la diagonal paralela a la direcció d'omplit es coloquen consecutivament els cinc números centrals de la série ya que qualssevol atres cinc números consecutius no sumaran la constant màgica.^{cita requerida}

Quadrats màgics d'orde impar (II)

Pas 1: S'escriuen els números de l'1 al n². S'escriu l'1 en la casella superior del rombo i se seguirà de forma oblicua com es veu en este eixemple. El quadrat màgic serà un quadrat inscrit en el rombo que hem format.

				1
			6		2
		11		7		3
	16		12		8		4
21		17		13		9		5
	22		18		14		10
		23		19		15
			24		20
				25

Pas 2: Traslladem els números dels cantons del rombo a les caselles buides que hi ha en el costat opost del quadrat.

				1
			6		2
		11	24	7	20	3
	16	4	12	25	8	16	4
21		17	5	13	21	9		5
	22	10	18	1	14	22	10
		23	6	19	2	15
			24		20
				25

Pas 3: Llevem els cantons del rombo: ya tenim un quadrat màgic d'orde impar.

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Quadrats màgics d'orde múltiple de 4

Es construïx un quadrat en els números disposts consecutivament (vore el segon quadrat d'orde sis de l'introducció), disposició en la que com sabem, les sumes de les diagonals són la constant màgica. Una volta fet açò, i conservant la submatriz central d'orde n/2 i les quatre submatrices de cantó d'orde n/4 els números restants es giren 180° respecte del centre del quadrat, o si es preferix es recolocan en orde decreixent (en abdós casos el resultat és el mateix).

Archiu:Cuadrado Mágico Parment par.png

Partint de la mateixa disposició i triant patrons simètrics similars de les sifres a conservar poden construir-se quadrats màgics diferents a l'obtingut abans, com el següent:

Archiu:Cuadrado Mágico Parment par2.png

Quadrats màgics d'orde múltiple de 4 més 2

Per a construir esta classe de quadrats es pot usar el método LUX. En part es basa en el método de la Loubere, que s'usa en la construcció de quadrats màgics d'orde impar (vore més dalt).

Com a eixemple, anem a construir un quadrat màgic de costat 10.

1º pas:

Anem a agrupar les caselles en subcuadrados de 2x2, i cada u d'ells ho etiquetarem de la següent forma:

- Els quadrats de les k+1 primeres files, a on k és la divisió sancera del tamany del quadrat entre quatre, s'etiqueten en la lletra L (3 files en este cas).

- Els quadrats de la següent fila s'etiqueten en la lletra U.

- Els quadrats de les files restants s'etiqueten en la lletra X.

Estes lletres més alvance nos indicaran cóm reblir cada subcuadrado de 2x2.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	O		O		O		O		O
	X		X		X		X		X

2º pas:

S'intercanvia el quadrat O central en el quadrat L immediatament superior.

	L		L		L		L		L
	L		L		L		L		L
	L		L		O		L		L
	O		O		L		O		O
	X		X		X		X		X

3º pas:

Etiquetarem cada subcuadrado de 2x2 en un número seguint el método de la Loubere. D'esta forma indicarem l'orde en el que es va a reblir cada subcuadrado.

17		24		1		8		15
	L		L		L		L		L
23		5		7		14		16
	L		L		L		L		L
4		6		13		20		22
	L		L		O		L		L
10		12		19		21		3
	O		O		L		O		O
11		18		25		2		9
	X		X		X		X		X

4º pas:

Ara, al subcuadrado i-ésimo li corresponen els números 4i - 3, 4i - 2, 4i - 1 i 4i. Per eixemple, al subcuadrado 10 li corresponen els números 37, 38, 39, i 40.

Solament nos falta saber cóm es coloquen els quatre números dins del seu subcuadrado corresponent, i ahí entra en joc l'etiquetage LUX.

4.º número	1.º número
2.º número	3.º número

Subcuadrado tipo L

1.º número	4.º número
2.º número	3.º número

Subcuadrado tipo O

1.º número	4.º número
3.º número	2.º número

Subcuadrado tipo X

Com pot vore's, les lletres recorden la forma que fan els números en colocar-se en cada quadrat.

En tots estos elements ya pot construir-se el quadrat:

68	65	96	93	4	1	32	29	60	57
66	67	94	95	2	3	30	31	58	59
92	89	20	17	28	25	56	53	64	61
90	91	18	19	26	27	54	55	62	63
16	13	24	21	49	52	80	77	88	85
14	15	22	23	50	51	78	79	86	87
37	40	45	48	76	73	81	84	9	12
38	39	46	47	74	75	82	83	10	11
41	44	69	72	97	100	5	8	33	36
43	42	71	70	99	98	7	6	35	34

Variants

Existixen multitut de variants dels quadrats màgics simples que acabem de descriure, aixina com métodos alternatius de construcció dels mateixos, de modo que ací nos llimitarem a fer una breu descripció d'algunes de la variants existents.

49	48	11	46	6	12	3
7	13	14	31	32	35	43
8	30	28	21	26	20	42
45	33	23	25	27	17	5
9	34	24	29	22	16	41
10	15	36	19	18	37	40
47	2	39	4	44	38	1

Hi ha, per eixemple, quadrats màgics que continuen sent màgics quan se'ls lleva una banda exterior; inclús els cal continuen sent màgics si se'ls lleva una banda i després una segona banda.

El quadrat complet de la figura, d'orde 7, té per constant màgica 175 (els quarantanou primers números); el quadrat interior d'orde 5 que comprén els números centrals de la série anterior (13 a 37), també és màgic i té per constant màgica 125, de la mateixa manera que el quadrat d'orde tres central (números 21 a 29) que té una constant màgica de 75.

7	2	11	14
9	16	5	4
6	3	10	15
12	13	8	1

Alguns quadrats conserven la suma màgica a lo llarc de totes les diagonals quebrades, ademés de files, columnes i diagonals principals, com el de la dreta. Estes disposicions se solen denominar quadrats diabòlics, encara que també es diu a voltes aixina al quadrat de Durero que no complix esta condició. Este últim també s'ha cridat a voltes quadrat satànic perque existixen moltes combinacions, certament peculiars, de números simétricamente distribuïts a lo llarc de la matriu en els que es conseguix la suma màgica, com ya vàrem mostrar en anterioritat quan parlem d'ell. Al respecte cal recordar que el número de combinacions de n sifres, preses de la série aritmètica 1 a n×n, és inclús superior al de quadrats que es poden construir en dites sifres, per lo que trobar disposicions aparentment peculiars tals que s'obtinga la suma màgica és més comuna de lo que es creu. Si nos fixem per eixemple en el quadrat diabòlic de la figura, vorem que tals disposicions també sumen 34 (els quatre cantons i les quatre centrals, les quatre submatrices d'orde quatre, etc., i, ademés, les diagonals quebrades. Encara que en ell no apareix la data de creació de Melancolia I com succeïa en el quadrat màgic de Durero, en el que existixen més de 34 combinacions).

Si entenem els quadrats màgics com matrius, en les seues operacions usuals de miniatura i producte, el quadrat màgic d'orde 3 té l'interessant propietat de que la seua matriu inversa torna a ser un quadrat màgic que té valors fraccionarios positius i negatius i que la seua constant màgica és 1/15.

Est és el quadrat màgic d'orde 3 habitual:

4	9	2
3	5	7
8	1	6

I est és el seu quadrat màgic invers.

23/360	-52/360	53/360
38/360	8/360	-22/360
-37/360	68/360	-7/360

Els quadrats p-màgics són aquells en els que, elevades totes les sifres del quadrat a la k potencia, sent 1≤k≤p, seguixen sent màgics:

• El quadrat bi-màgic menor conegut és el d'orde 8 mostrat més alvance i que té per constants màgiques 260 (k=1) i 11180 (k=2). Es conjectura que no existixen quadrats bi-màgics d'orde inferior, encara que no existix prova concloent d'això. En 1998, J. R. Hendricks va demostrar que és impossible construir quadrats bi-màgics d'orde 3, llevat el que conté 9 sifres iguals, que de màgic té més be poc.

• S'han construït quadrats tri-màgics d'órdens 12, 32, 64, 81 i 128; l'únic d'orde 12 va ser construït pel matemàtic alemà Walter Trump en juny del 2002.

• El primer quadrat tetra-màgic, d'orde 64, ho va obtindre Andrés González Fernández, en juny de 1998, usant números de l'1 al 4096 sense repetir cap d'ells. Pot segregar-se en 64 taulers d'escacs i sempre sumaria igual, indistintament de la posició en les que resulten les files nort, sur, est i oest. Segons González, en esta obra no es va usar cap ordenador per a quadrar-ho. El quadro es troba registrat en l'Archiu Internacional Central d'Objectes d'Art. ^{[enllaç trencat]}

• El primer quadrat tetra-màgic, d'orde 512, va ser obtingut per André Viricel i Christian Boyer en maig de 2001; en juny del mateix any varen presentar el primer quadrat penta-màgic, d'orde 1024. Ya en el 2003, varen presentar un quadrat tetra-màgic d'orde 256, i el matemàtic chinenc Li Wen, un penta-màgic d'orde 729.^{cita requerida}

16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 12 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35		1 22 33 41 62 66 79 83 104 112 123 144 9 119 45 115 107 93 52 38 30 100 26 136 75 141 35 48 57 14 131 88 97 110 4 70 74 8 106 49 12 43 102 133 96 39 137 71 140 101 124 42 60 37 108 85 103 21 44 5 122 76 142 86 67 126 19 78 59 3 69 23 55 27 95 135 130 89 56 15 10 50 118 90 132 117 68 91 11 99 46 134 54 77 28 13 73 64 2 121 109 32 113 36 24 143 81 72 58 98 84 116 138 16 129 7 29 61 47 87 80 34 105 6 92 127 18 53 139 40 111 65 51 63 31 20 25 128 17 120 125 114 82 94
Quadrat bi-màgic d'orde 8 (constants màgiques 260 i 11.180)
	Quadrat tri-màgic d'orde 12 (constants màgiques 870, 83.810 i 9 082.800)

Poden construir-se quadrats màgics en números extrets de qualsevol successió aritmètica independentment del número inicial i de la raó de la série. Sent a₀ el primer terme i r la raó, fàcilment es demostra que la constant màgica serà en este cas:

$M_2(n)=\frac{n[2a_0+(n^2-1)r]}{2}$

Análogament, es poden construir quadrats màgics a partir de successions geomètriques, en el cas de les quals seran els productes els que donen per resultat la constant màgica. Estos poden construir-se en les regles donades per als quadrats aritmètics, sense més que substituir el terme de la série geomètrica en la posició indicada per la corresponent de la série aritmètica:

Successió aritmètica 6 1 8 7 5 3 2 9 4
	Correspondència 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 4 8 16 32 64 128 256		Successió geomètrica 32 1 128 64 16 4 2 256 8

La constant màgica és, en el cas general:

${M_2}^{*}(n)=({a_0}^2{r}^{(n^2-1)}{)}^{\frac{n}{2}}$

la similitut del qual en la ya obtinguda per a les séries aritmètiques és palpable.

També s'han construït quadrats màgics en séries d'número primo consecutius, o en les sifres decimals dels recíprocs de la série aritmètica dels número natural.

Per últim, cal senyalar a existència de disposicions màgiques n-dimensionals; aixina, en la série 1 - n³ poden construir-se gavetes màgiques, i en general, en la série 1 - n^r quadrats màgics r-dimensionals d'orde n, en les seues respectives variants multi-màgiques i la visualisació de les quals no és immediata, encara que poden tractar-se cómodament per mig de l'ocupació de computadores.

Els quadrats màgics en l'ocultisme

Quadrats màgics d'orde 3 al 9, assignats als sèt planetes i descrits com a mijos per a atraure l'influència dels planetes i els seus àngels (o dimonis) durant pràctiques màgiques, poden trobar-se en varis manuscrits en tota Europa des d'a lo manco el XV. Entre els més coneguts està el Liber d'Angelis, un manual màgic escrit al voltant de 1440, que es troba en la Biblioteca de l'Universitat de Cambridge, MS Dd.XI.45. El text del Liber d'Angelisés molt similar al de De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, un atre manual de màgia planetària en imàgens contingut en el Còdex 793 de la Biblioteka Jagiellońska (Ms BJ 793). Les operacions màgiques consistixen en gravar el quadrat corresponent en una placa feta en el metal assignat al planeta corresponent, aixina com en la realisació de diversos rituals. Per eixemple, el quadrat de 3×3, que pertany a Saturn, deu ser inscrit en una placa de plom. Est servirà, en particular, per a ajudar a les dònes durant un part difícil.

Al voltant de 1510, Heinrich Cornelius Agrippa va escriure De Occulta Philosophia, basant-se en els treballs hermètics i màgics de Marsilio Ficino i Pico della Mirandola. En la seua edició de 1531, va explicar les virtuts màgiques dels sèt quadrats màgics d'órdens 3 a 9, cada u associat en un dels planetes astrológicos, de manera molt similar a com ho feyen els texts més antics. Este llibre va ser molt influent en tota Europa fins a la Contrarreforma, i els quadrats màgics de Agrippa, a voltes cridats kameas, continuen utilisant-se en la màgia ceremonial moderna de manera molt similar a com ell els va prescriure per primera volta.

L'us més comú d'estos kameas és proporcionar un patró sobre el qual construir els sigilos d'esperits, àngels o dimonis; les lletres del nom de l'entitat es convertixen en números, i es tracen llínees a través del patró que estos números successius formen sobre el kamea. En un context màgic, el terme quadrat màgic també s'aplica a una varietat de quadrats de paraules o números trobats en grimorios màgics, incloent alguns que no seguixen cap patró obvi, i inclús aquells en diferents cantitats de files i columnes. Generalment estan destinats a usar-se com a talismans. Per eixemple, els següents quadrats són: el quadrat de Sator, un dels quadrats màgics més famosos que apareix en varis grimorios, inclós la Clau de Salomón; un quadrat “per a véncer l'enveja”, del Llibre del Poder; i dos quadrats de El Llibre de Màgia Sagrada de Abramelín el Mac, el primer per a causar l'ilusió de l'aparició d'un palau magnífic, i el segon per a ser usat en el cap d'un chiquet durant una invocació angélica.

Vore també

• círculs màgics
• quadrat sator
• matemàtiques recreatives
• sudoku

Bibliografia

• Andrews, William Symes: Magic Squares and Cubes. Nova York: Dover, 1960. ISBN 0-486-20658-0
• Fults, John Lee: Magic Squares. La Salle, Illinois: Open Court, 1974. ISBN 0-87548-197-3
• Pickover, Clifford: The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars. Princeton, Nova Jersey: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11597-4
• Knorr Rosenroth: Aesch Mezareph o Fòc Purificador, original: Sulzbach any-1677-84, present edició en espanyol: Muñoz Moya i Montraveta editors, Cerdanyola del Valls, any-1987, ISBN 84-86335-32-9
• Cornelio Agrippa: Numerología Amagada, Edicions Obelisc any-1996 ISBN 978-84-7720-493-0
• Charles D. Miller, Vern E. Heeren, John Hornsby. Dècima edició, 2006. Matemàtica: raonament i aplicacions. Ed. Pearson