Círcul màgic (matemàtiques)

Els círculs màgics varen ser inventats pel matemàtic chinenc Yang Hui de la Dinastia Song (960-1279) en el XIII. Consistixen en una série de número natural colocats en círculs, segons el cas en disposicions concèntriques o quadrades, a on la suma dels números de cada diàmetro i de cada círcul (o cada costat i diagonal en formacions quadrades), inclós el centre si ho hi ha, és idèntica.

Els círculs màgics de Yang Hui

Els círculs màgics de Yang Hui varen ser publicats en el seu estudi Xugu Zhaiqi Suanfa《續古摘奇算法》(continuació del seu “Extracte de maravelles matemàtiques”) de 1275. En ell s'inclouen diverses séries de círculs màgics concèntrics i no-concèntrics en disposicions en quadrat.

Cas: círculs màgics concèntrics

Archiu:Yang Hui magic circle.svg

Círcul màgic de Yang Hui. Està construït en els número natural de l'1 al 33, colocats en quatre círculs concèntrics i en el número 9 en el centre.

En este cas el círcul màgic està compost de quatre anells concèntrics de 8 números cada u i el centre ho ocupa el valor 9, fent un total de 33 números. Este círcul màgic té les següents propietats:

La suma total del círcul màgic és 561.

La suma dels números dels seus 4 diàmetros és 147. $20+16+23+10+9+2+29+32+6=147$

$33+1+13+22+9+18+26+17+8=147$

$12+31+19+7+9+25+11+5+28=147$

$4+21+14+30+9+24+3+15+27=147$

La suma dels 8 números de cada anell concèntric més el valor 9 del centre és també 147. $20+33+12+4+6+8+28+27+9=147$

$16+1+31+21+32+17+5+15+9=147$

$23+13+19+14+29+26+11+3+9=147$

$10+22+7+30+2+18+25+24+9=147$

La suma de cada u dels 8 radis exclós el 9 central és 69. Per eixemple, en els radis que conformen el primer diàmetro dels indicats anteriorment: $20+16+23+10=69$

$2+29+32+6=69$

La suma dels números de cada anell exclós el 9 central és 2 x 69.

Ademés hi ha 8 semicírculs en els que la suma és també 69.

Hi ha també 16 segments (conformats per semicírculs i ràdios) que la seua suma és igualment 69.

Cas: 8 círculs màgics en disposició quadrada

Archiu:YangHui magic circle 1.jpg

8 círculs màgics en disposició quadrada 八阵图

En este cas es disponen 64 números en 8 círculs de 8 números cada u, agrupats en forma de quadrat i deixant el centre lliure. En conseqüència, cada costat del quadrat està conformat per 3 círculs.

La suma màgica de cada círcul és 260, per lo que la suma total és 260 x 8 = 2080.

Escomençant pel cantó superior esquerre i alvançant en el sentit de les agulles del rellonge les sumes dels círculs màgics són:

$40+24+9+56+41+25+8+57=260$

$14+51+46+30+3+62+35+19=260$

$45+29+4+61+36+20+13+52=260$

$37+21+12+53+44+28+5+60=260$

$47+31+2+63+34+18+15+50=260$

$7+58+39+23+10+55+42+26=260$

$38+22+11+54+43+27+6+59=260$

$48+32+1+64+33+17+16+49=260$

Ademés, la suma dels 8 números que se situen en cada u dels dos eixos principals del quadrat (esquerra-dreta, dalt-avall) també complix la suma màgica:

$14+51+62+3+7+58+55+10=260$

$49+16+1+64+60+5+12+53=260$

La suma dels 16 números que se situen en les dos diagonals del quadrat és 2 voltes 260: $40+57+41+56+50+47+34+63+29+4+13+20+22+11+6+27=2*260=520$

Cas: 9 círculs màgics en disposició quadrada

Archiu:Yanghui magic circle 2.jpg

9 círculs màgics en disposició quadrada 连环图

En este cas es disponen 9 círculs de 8 números cada u formant un quadrat. En ocupar-se el centre en un círcul es creen 4 círculs màgics adicionals al voltant del centre també de 8 números. D'esta forma el quadrat en realitat conté 13 círculs màgics.

Les propietats d'esta disposició són les següents:

La suma total dels 72 números és 2628. La suma màgica de cada u dels círculs de 8 números (13 en total) és 292. La suma de 3 círculs en horisontal, vertical o diagonal és 876.

Referències

• Lam Lay Yong: A Critical Study of Hang Hui Suan Fa 《杨辉算法》 Singapore University Press 1977- (en anglés)
• Wu Wenjun (editor cap), Grand Series of History of Chinese Mathematics, Volum 6, Partix 6 Yang Hui, secció 2 Magic circle (吴文俊 主编 沈康身执笔 《中国数学史大系》 第六卷 第六篇 《杨辉》 第二节 《幻圆》) ISBN 7-303-04926-6/O - (en anglés)