Potencial retardado

En electrodinàmica, els potencials retardados són potencials electromagnètics per al camp electromagnètic generat per una corrent elèctrica o una distribució de càrrega en el passat que varien en el temps. Els camps es propaguen a la velocitat de la llum c, de modo que la relació causa-efecte que conecta als camps a temps anteriors i posteriors és un factor important. La senyal requerix d'un temps finito per a propagar-se des d'un punt en la distribució de càrrega o la corrent (el punt de causa) fins a un atre punt en l'espai (en a on es medix l'efecte).

Potencials en el gauge de Lorenz

Archiu:Universal charge distribution.svg

Vectores de posició r i r′ usats en el càlcul.

Artícul principal → Equacions de Maxwell.

Iniciem de la formulació en potencials de les equacions de Maxwell usant el gauge de Lorenz:

$◻\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},◻𝐀=-{\mu }_0𝐉$

a on φ(r,t) és el potencial elèctric i A(r,t) és el potencial vectorial electromagnètic, per a una font arbitrària de densitat de càrrega ρ(r,t) i una densitat de corrent J(r,t), mentres que $◻$ és l'operador de D'Alembert. En resoldre estes equacions s'obtenen els potencials retardados.

Potencials retardados i alvançats per a camps depenents del temps

Per al cas de camps que depenen del temps, els potencials retardados són:

$\mathrm{\phi }(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime },t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

a on r és un punt en l'espai, t és el temps,

$t_r=t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c}$

és el temps retardado i d³r' indica que l'integració es realisa sobretot l'espai.

A partir de φ(r,t) i A(r,t), els camps I(r,t) i B(r,t) poden calcular-se usant la definició dels potencials:

$-𝐄=\mathrm{\nabla }\phi +\frac{\partial 𝐀}{\partial t},𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀.$

Açò conduïx a les equacions de Jefimenko. Els potencials alvançats corresponents tenen una forma idèntica, a excepció de que el temps alvançat,

$t_a=t+\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c},$

reemplaça al temps retardado.

Comparació en potencials estàtics per a camps que depenen del temps

En el cas de que els camps no depenguen del temps (camps electrostàtics i magnetostáticos) les derivades sobre el temps en els operadors $◻$ són zero, i les equacions de Maxwell es reduïxen a:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0},{\mathrm{\nabla }}^2𝐀=-{\mu }_0𝐉,$

a on ∇² és l'operador laplaciano, que pren la forma de l'equació de Poisson en quatre components (una para φ i tres para A). En este cas les solucions són:

$\mathrm{\phi }(𝐫)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime },$

$𝐀(𝐫)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐉({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }.$

Estes s'obtenen també directament dels potencials retardados.

Potencials en el gauge de Coulomb

En el gauge de Coulomb, les equacions de Maxwell són:

${\mathrm{\nabla }}^2\phi =-\frac{\rho }{{ϵ}_0}$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐀-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2𝐀}{\partial t^2}=-{\mu }_0𝐉+\frac{1}{c^2}\mathrm{\nabla }\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}\right),$

encara que les solucions contrasten en les de dalt, ya que A és un potencial retardado, aixina i tot φ canvia instantàneament, donat per:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\times \int {\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }\underset{0}{\overset{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|/c}{\int }}\mathrm{d}{t}_r\frac{t_r𝐉({𝐫}^{\prime },t-t_r)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\times (𝐫-{𝐫}^{\prime }).$

Açò presenta una ventaja i una desventaja del gauge de Coulomb: φ és calculable fàcilment a partir de la distribució de càrrega ρ, pero A no es calcula tan senzillament a partir de la distribució de corrent J. No obstant, degut a que necessitem que els potencials s'anulen en infinit, poden expressar-se en térmens dels camps:

$\phi (𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

$𝐀(𝐫,t)=\frac{1}{4\pi }\int \frac{\mathrm{\nabla }\times 𝐁(r^{\prime },t)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{𝐫}^{\prime }$

Referències

Bibliografia

• Jackson, J. D. (1962). «Cap. 14; Radiation of Moving Charges», Classical Electrodynamics, Wiley & Sons. ISBN 0471431311.

Vore també

• Temps retardado.
• Potencials de Liénard-Wiechert.